2023年高考题

20．(本小题满分12分)(2014课标全国ⅰ，理20)已知点a(0，－2)，椭圆e： (a＞b＞0)的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点．

1)求e的方程；

2)设过点a的动直线l与e相交于p，q两点，当△opq的面积最大时，求l的方程．

21．(本小题满分12分)(2014课标全国ⅰ，理21)设函数，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

1)求a，b；

2)证明：f(x)＞1.

20．(本小题满分12分)(2014课标全国ⅱ，理20)设f1，f2分别是椭圆c： (a＞b＞0)的左，右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直．直线mf1与c的另一个交点为n.

1)若直线mn的斜率为，求c的离心率；

2)若直线mn在y轴上的截距为2，且|mn|＝5|f1n|，求a，b.

21．(本小题满分12分)(2014课标全国ⅱ，理21)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.

1)讨论f(x)的单调性；

2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；

3)已知1.414 2＜＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．

21．(本小题满分12分)(2014大纲全国，理21)已知抛物线c：y2＝2px(p＞0)的焦点为f，直线y＝4与y轴的交点为p，与c的交点为q，且。

1)求c的方程；

2)过f的直线l与c相交于a，b两点，若ab的垂直平分线l′与c相交于m，n两点，且a，m，b，n四点在同一圆上，求l的方程．

22．(本小题满分12分)(2014大纲全国，理22)函数(a＞1)．

1)讨论f(x)的单调性；

2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：.

19．(本小题满分12分)(2014山东，理19)已知等差数列的公差为2，前n项和为sn，且s1，s2，s4成等比数列．

1)求数列的通项公式；

2)令，求数列的前n项和tn.

20．(本小题满分13分)(2014山东，理20)设函数(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；

2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．

21．(本小题满分14分)(2014山东，理21)已知抛物线c：y2＝2px(p＞0)的焦点为f，a为c上异于原点的任意一点，过点a的直线l交c于另一点b，交x轴的正半轴于点d，且有|fa|＝|fd|.当点a的横坐标为3时，△adf为正三角形．

1)求c的方程；

2)若直线l1∥l，且l1和c有且只有一个公共点e，证明直线ae过定点，并求出定点坐标；

△abe的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分13分)(2014安徽，理20)如图，四棱柱abcd－a1b1c1d1中，a1a⊥底面abcd.四边形abcd为梯形，ad∥bc，且ad＝2bc.过a1，c，d三点的平面记为α，bb1与α的交点为q.

1)证明：q为bb1的中点；

2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

3)若aa1＝4，cd＝2，梯形abcd的面积为6，求平面α与底面abcd所成二面角的大小．

21．(本小题满分13分)(2014安徽，理21)设实数c＞0，整数p＞1，n∈n*.

1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；

2)数列满足，，证明：.

18．(本小题满分12分)(2014安徽，理18)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.

1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．

19．(本小题满分13分)(2014安徽，理19)如图，已知两条抛物线e1：y2＝2p1x(p1＞0)和e2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点o的两条直线l1和l2，l1与e1，e2分别交于a1，a2两点，l2与e1，e2分别交于b1，b2两点．

1)证明：a1b1∥a2b2；

2)过o作直线l(异于l1，l2)与e1，e2分别交于c1，c2两点．记△a1b1c1与△a2b2c2的面积分别为s1与s2，求的值．

21．(本小题满分13分)(2014安徽，文21)设f1，f2分别是椭圆e： (a＞b＞0)的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a，b两点，|af1|＝3|f1b|.

1)若|ab|＝4，△abf2的周长为16，求|af2|；

2)若cos∠af2b＝，求椭圆e的离心率．

20．(本小题满分14分)(2014广东，理20)已知椭圆c： (a＞b＞0)的一个焦点为，离心率为。

1)求椭圆c的标准方程；

2)若动点p(x0，y0)为椭圆c外一点，且点p到椭圆c的两条切线相互垂直，求点p的轨迹方程．

21．(本小题满分14分)(2014广东，理21)设函数，其中k＜－2.

1)求函数f(x)的定义域d(用区间表示)；

2)讨论函数f(x)在d上的单调性；

3)若k＜－6，求d上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合(用区间表示)．

19．(本小题满分14分)(2014广东，文19)设各项均为正数的数列的前n项和为sn，且sn满足－(n2＋n－3)·sn－3(n2＋n)＝0，n∈n*.

1)求a1的值；

2)求数列的通项公式；

3)证明：对一切正整数n，有。

21．(本小题满分14分)(2014广东，文21)已知函数(a∈r)．

1)求函数f(x)的单调区间；

2)当a＜0时，试讨论是否存在，使得。

19．(本小题满分13分)(2014福建，理19)已知双曲线e： (a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.

1)求双曲线e的离心率；

2)如图，o为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于a，b两点(a，b分别在第。

一、四象限)，且△oab的面积恒为8.试**：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线e？若存在，求出双曲线e的方程；若不存在，说明理由．

20．(本小题满分14分)(2014福建，理20)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点a，曲线y＝f(x)在点a处的切线斜率为－1.

1)求a的值及函数f(x)的极值；

2)证明：当x＞0时，x2＜ex；

3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞时，恒有x2＜cex.

21．(本小题满分12分)(2014福建，文21)已知曲线γ上的点到点f(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.

1)求曲线γ的方程；

2)曲线γ在点p处的切线l与x轴交于点a，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点m，n.以mn为直径作圆c，过点a作圆c的切线，切点为b.试**：

当点p在曲线γ上运动(点p与原点不重合)时，线段ab的长度是否发生变化？证明你的结论．

21．(本小题满分15分)(2014浙江，理21)如图，设椭圆c： (a＞b＞0)，动直线l与椭圆c只有一个公共点p，且点p在第一象限．

1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点p的坐标；

2)若过原点o的直线l1与l垂直，证明：点p到直线l1的距离的最大值为a－b.

22．(本小题满分14分)(2014浙江，理22)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈r)．

1)若f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为m(a)，m(a)，求m(a)－m(a)；

2)设b∈r.若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1,1]恒成立，求3a＋b的取值范围．

21．(本题满分15分)(2014浙江，文21)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a)．

1)求g(a)；

2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.

22．(本题满分14分)(2014浙江，文22)已知△abp的三个顶点都在抛物线c：x2＝4y上，f为抛物线c的焦点，点m为ab的中点，.

1)若|pf|＝3，求点m的坐标；

2)求△abp面积的最大值．

19．(本小题满分12分)(2014四川，理19)设等差数列的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈n*)．

1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列的前n项和sn；

2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为，求数列的前n项和tn (1)证明：数列为等比数列；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为，求数列的前n项和sn.

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