2023年高考题

1（本小题满分12分）（2023年全国大纲卷）

已知双曲线离心率为直线。）求。

证明：2．（本小题满分12分（2023年全国大纲卷）

已知函数。）若；

）设数列。3（本小题共14分）（2023年北京卷）

如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，，．

ⅰ）求证：平面；

ⅱ）求证二面角的余弦值；

ⅲ）证明：**段上存在点，使得，并求的值。

4（本小题共13分）（2023年北京卷）

设为曲线在点处的切线．

ⅰ）求的方程；

ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方。

5．（本小题满分13分）已知函数（2013福建）

1）当时，求曲线在点处的切线方程；

2）求函数的极值．

6．（本小题满分14分）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．

1）求函数与的解析式；

2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由．

3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．

7．(2013广东，理19)(本小题满分14分)设数列的前n项和为sn.已知a1＝1，，n∈n*.

1)求a2的值；

2)求数列的通项公式；

3)证明：对一切正整数n，有。

8．(2013广东，理20)(本小题满分14分)已知抛物线c的顶点为原点，其焦点f(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为。设p为直线l上的点，过点p作抛物线c的两条切线pa，pb，其中a，b为切点．

1)求抛物线c的方程；

2)当点p(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线ab的方程；

3)当点p在直线l上移动时，求|af|·|bf|的最小值．

9．(2013广东，理21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈r)．

1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；

2) (2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值m.

10．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线e：x2＝2py(p＞0)的焦点f作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与e相交于点a，b，l2与e相交于点c，d，以ab，cd为直径的圆m，圆n(m，n为圆心)的公共弦所在直线记为l.

1)若k1＞0，k2＞0，证明：·＜2p2；

2)若点m到直线l的距离的最小值为，求抛物线e的方程．

当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值m.

11．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝.

1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；

2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

12．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列的前n项和sn满足：－(n2＋n－1)sn－(n2＋n)＝0.

1)求数列的通项公式an；

2)令，数列的前n项和为tn.证明：对于任意的n∈n*，都有tn＜.

13．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆c：(a>b>0)经过点p，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.

(1)求椭圆c的方程；

2)ab是经过右焦点f的任一弦(不经过点p)，设直线ab与直线l相交于点m，记pa，pb，pm的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？

若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

14．(2013辽宁，理20)(本小题满分12分)如图，抛物线c1：x2＝4y，c2：x2＝－2py(p＞0)．点m(x0，y0)在抛物线c2上，过m作c1的切线，切点为a，b(m为原点o时，a，b重合于o)．当x0＝1－时，切线ma的斜率为。

(1)求p的值；

2)当m在c2上运动时，求线段ab中点n的轨迹方程(a，b重合于o时，中点为o)．

15．(2013辽宁，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋＋1＋2xcos x．当x∈[0,1]时，1)求证：1－x≤f(x)≤；

2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

16．(2013课标全国ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆m：(x＋1)2＋y2＝1，圆n：(x－1)2＋y2＝9，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.

1)求c的方程；

2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|.

17．(2013课标全国ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点p(0,2)，且在点p处有相同的切线y＝4x＋2.

1)求a，b，c，d的值；

2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

18．(2013课标全国ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：(a＞b＞0)右焦点的直线交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为。

1)求m的方程；

2)c，d为m上两点，若四边形acbd的对角线cd⊥ab，求四边形acbd面积的最大值．

19(2013新课标全国ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．

1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

2)当m≤2时，证明f(x)＞0.

20．(2013山东，理20)(本小题满分12分)设等差数列的前n项和为sn，且s4＝4s2，a2n＝2an＋1.

1)求数列的通项公式；

2)设数列的前n项和为tn，且(λ为常数)．令cn＝b2n(n∈n*)．求数列的前n项和rn.

21．(2013山东，理21)(本小题满分13分)设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈r)．

1)求f(x)的单调区间、最大值；

2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．

22．(2013山东，理22)(本小题满分13分)椭圆c：(a＞b＞0)的左、右焦点分别是f1，f2，离心率为，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1.

1)求椭圆c的方程；

2)点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，连接pf1，pf2.设∠f1pf2的角平分线pm交c的长轴于点m(m,0)，求m的取值范围；

3)在(2)的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点．设直线pf1，pf2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．

23．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点a(4,0)，且在y轴上截得弦mn的长为8.

1)求动圆圆心的轨迹c的方程；

2)已知点b(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p，q，若x轴是∠pbq的角平分线，证明直线l过定点。

24．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，x∈r.

1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；

2)设x＞0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m＞0)公共点的个数；

3)设a＜b，比较与的大小，并说明理由。

25．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆c：(a＞b＞0)的两个焦点分别为f1(－1,0)，f2(1,0)，且椭圆c经过点p.

1)求椭圆c的离心率；

2)设过点a(0,2)的直线l与椭圆c交于m，n两点，点q是线段mn上的点，且，求点q的轨迹方程．

26．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝其中a是实数．设a(x1，f(x1))，b(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.

1)指出函数f(x)的单调区间；

2)若函数f(x)的图象在点a，b处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；

3)若函数f(x)的图象在点a，b处的切线重合，求a的取值范围．

27．(2013浙江，理21)(本题满分15分)如图，点p(0，－1)是椭圆c1：(a＞b＞0)的一个顶点，c1的长轴是圆c2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点p且互相垂直的两条直线，其中l1交圆c2于a，b两点，l2交椭圆c1于另一点d．

1)求椭圆c1的方程；

2)求△abd面积取最大值时直线l1的方程．

28．(2013浙江，理22)(本题满分14分)已知a∈r，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.

1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．

29．(2013重庆，理21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，离心率，过左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于a，a′两点，|aa′|＝4.

1)求该椭圆的标准方程；

2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点p，p′，过p，p′作圆心为q的圆，使椭圆上的其余点均在圆q外．若pq⊥p′q，求圆q的标准方程．

30、如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，记，和的面积分别为和。

）当直线与轴重合时，若，求的值；

）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。

31、设是正整数，为正有理数。

）求函数的最小值；

）证明：；）设，记为不小于的最小整数，例如，，。令，求的值。

参考数据：，，

32．（本小题满分16分）（2013江苏）

设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，，其中为实数．

1）若，且成等比数列，证明：（）

2）若是等差数列，证明：．

33．（本小题满分16分）

设函数，，其中为实数．

1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

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