2023年高考题集锦——数列（理科）
安徽）（13）设常数，展开式中的系数为，则。
解，由，所以，所以为1。
21）、（本大题满分12分）数列的前项和为，已知（ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（ⅱ设，求数列的前项和。
解由得：，即，所以，对成立。
由，，…相加得：，又，所以，当时，也成立。
ⅱ）由，得。
而，北京）(20)在数列中，是正整数，且，则称为“绝对差数列”。(1)举出一个前五项均不为0的“绝对差数列”（只需写出其前十项）；（2）若“绝对差数列”中，，数列满足，分别判断当时，数列和的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）证明任意一个“绝对差数列”总存在无穷多个等于零的项。
ⅰ）解：,（答案不惟一）
ⅱ）解：因为在绝对差数列中，.所以自第 20 项开始，该数列是， ,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限不存在。
当时， ,所以。
ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项。证明如下。
假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而。
当时，;当时，
即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令则。由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与()
矛盾。 从而必有零项。
若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项。
福建）(2)在等差数列中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于。
a.40b.42c.43 d.45
解在等差数列中，已知∴ d=3，a5=14， =3a5=42，选b.
22）（本小题满分14分）已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈n)（ⅰ求数列｛a｝的通项公式； （若数列满足(n∈n*),证明：是等差数列；
ⅲ）证明： (n∈n*).
i）解： 是以为首项，2为公比的等比数列。即
ii）证法一： ①
－①，得即。
相减得即 是等差数列。
证法二：同证法一，得令得。
设下面用数学归纳法证明
1）当时，等式成立。
2）假设当时，那么。
这就是说，当时，等式也成立。
根据（1）和（2），可知对任何都成立。
是等差数列。
iii）证明：
广东）6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为。
a.5b.4c. 3d. 2
解，故选c.
14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
解，故选c. 10，
19、(本题14分)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。 (求数列的首项和公比；()对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和； (设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零。
解： (依题意可知，
ⅱ)由(ⅰ)知， ,所以数列的的首项为，公差，即数列的前10项之和为155.
当m=2时， =当m>2时， =0，所以m=2
湖北）2.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则。
a．4 b．2 c．－2 d．－4
解互不相等的实数、、成等差数列，∴，又、、成等比数列，，且，得，，解得(舍去)或a=－4，选d.
15．将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中令，则 。
分析第一问通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即根据第一问所推出的结论在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而。
17．（本小题满分13分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（ⅰ求数列的通项公式； （设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
解：（ⅰ设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f’(x)=2ax+b,由于f’(x)=6x－2,得。
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，故tn＝＝＝1－）.
因此，要使（1－）<成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
湖南）2.数列{}满足：,且对于任意的正整数m,n都有，则。
a. b. c. d.2
解满足：, 且对任意正整数都有，数列是首项为，公比为的等比数列。，选a.
19. （本小题满分14分）已知函数，数列{}满足：
证明。证明 （ⅰ先用数学归纳法证明……
i）、当时，由已知，结论成立。
ii）假设当时结论成立，即。
因时，所以在（0，1）上是增函数，又在[0，1]上连续，从而，即，故当时，结论成立。
由（i）、（ii）可知，对一切正整数都成立。
又因时，所以，综上所述。
ⅱ）设函数，由（ⅰ）知，当时，
从而。所以在（0，1）上是增函数，又在[0，1]上连续，且，所以当时，成立。于是，即，故。
江苏)（21）（本小题满分14分）设数列、、满足：，（n=1,2,3,…）证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）
证明]必要性：设数列是公差为的等差数列，则：
又=6（常数）（n=1,2,3,…）
数列为等差数列。
充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,…）得： =
……③从而有……④
－③得：……由⑤得：（n=1,2,3,…）由此，不妨设（n=1,2,3,…）则（常数）
故……⑥从而……⑦
－⑥得：，故（常数）（n=1,2,3,…）数列为等差数列。
综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）
江西）7.若等差数列的前n项和为，且，又a、b、c三点共线（o不在ab上），则等于（ ）
a）100 （b）101 （c）200 （d）201
解已知等差数列｛an｝的前n项和为sn，若，且a、b、c三点共线（该直线不过原点o），∴100，选a.
13．数列的前n项和为，则。
解sn＝=.
22．已知数列满足：，且。（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切的，不等式恒成立。
解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为。
1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）
2）证：据1得，a1a2…an＝
为证a1a2……an2n！ 只要证nn时有。
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nn，有。
）n＝1时，上式显然成立，）设n＝k时，上式成立，即1－（）
则当n＝k＋1时，1－（）
1－（＋即当n＝k＋1时，3式也成立。
故对一切nn，3式都成立。
1－ 从而结论成立。
辽宁）9．在等比数列中， ,前项和为，若也是等比数列，则等于。
a) (b) (c) (d)
解因为等比，则，因数列也是等比数列，则。
即，所以，故选择答案c。
解。22．（本小题满分12分）已知，其中，设，.(写出；()证明：对任意的，恒有。
解 ()由已知推得，从而有。
) 证法1:当时，
当x>0时， ,故在[0,1]上为增函数，因为偶函数，故在[-1,0]上为减函数，所以对任意的。
因此结论成立。
证法2: 当时，
当x>0时， ,所以在[0,1]上为增函数。
因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数。
所以对任意的。
又因。所以。
因此结论成立。
证法3: 当时，
当x>0时， ,所以在[0,1]上为增函数。
因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数。
所以对任意的。
由 对上式两边求导得。
因此结论成立。
全国1）10。设是公差为正数的等差数列，若，，则。
abcd．
解．是公差为正数的等差数列，若，，则，，∴d=3，， 选b.
22）、（本小题满分12分）设数列的前项的和，
ⅰ）求首项与通项； （设，，证明：
解： (由 sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… 得 a1=s1= a1－×4+ 所以a1=2.
再由①有 sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…②
将①和②相减得： an=sn－sn－1= (an－an－1)－×2n+1－2n),n=2,3, …
整理得： an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, …因而数列是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …因而an=4n－2n, n=1,2,3, …将an=4n－2n代入①得。
sn=×(4n－2n)－×2n+1 + 2n+1－1)(2n+1－2)=×2n+1－1)(2n－1)
2023年高考题 数列
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