综合问题习题。
综-1 滑块m的质量为m，在半径为r的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面内，如图所示。滑块m上系有一刚性系数为k的弹性绳moa，此绳穿过光滑的固定环o，并固结在点a。
已知当滑块在点o时线的张力为零。开始时滑块在点b，处于不稳定的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。试求下滑速度v与角的关系和圆环的支反力。
解：滑块m在下降至任意位置时的运动分析及受力分析如图（a）所示。滑块m在下降过程中v与的关系可由动能定理确定：
解得1）滑块m的法向运动微分方程为。
把式（1）代入上式，化简得
综-3 一小球质量为m，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图所示。线的另一端穿过一孔以等速v向下拉动。设开始时球与孔间的距离为r，孔与球间的线段是直的，而球在初瞬时速度v0垂直于此线段。
试求小球的运动方程和线的张力f（提示：解题时宜采有极坐标）
解：设小球在任意瞬时的速度为v1，由于作用于小球的力对小孔o之矩为零，故小球在运动过程中对点o的动量矩守恒。即
由题意 r = r - vt
得小球在任意瞬时绕小孔o转动的角速度为
即 两边求积分得
故小球的运动方程为 r = r - vt
而线的张力为
综-5 图示三棱柱a沿三棱柱b光滑斜面滑动，a和b的质量各为m1与m2，三棱柱b的斜面与水平面成角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱b的加速度。
解：1）以a及b为系统，由于作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水平方向动量守恒。即
两边求导得1）
2)以b为动系分析a的运动。如图（a）。
根据 aa = ae + ar = ab + ar
3）对a进行受力分析及运动分析，如图（b），建立质点运动微分方程。
由式（2）、（3）消去ar得
把式（1）代入上式得，再把该式与式（1）代入式（4）、（5）中消去fn，解得。
（方向向左）
综-7 图示圆环以角速度绕铅直轴ac自由转动。此圆环半径为r，对轴的转动惯量为j。在圆环中的点a放一质量为m的小球。
设由于微小的干扰小球离开点a。圆环中的摩擦忽略不计，试求小球到达点b和点c时，圆环的角速度和小球的速度。
解：整个系统在运动过程中对转动轴动量矩守恒，机械能也守恒。
设小球至b位置时圆环绕ac轴转动角速度为，小球至c位置时圆环角速度为，又设小球在最低位置为零势能点。
1）a至b过程。
动量矩守恒：
机械能守恒。
把式（1）代入式（2）解得
2）a至c过程。
动量矩守恒
机械能守恒
如果确定小球在位置b时相对于圆环的速度vbr，则从速度分析知vbr垂直向下，vbe垂直于图面向里，且vbe故
综-9 图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄oa绕水平轴o作匀角速度转动。已知曲柄oa的质量为m1，oa = r，滑槽bc的质量为m2（重心在点d）。滑块a的重量和各处摩擦不计。
求当曲柄转至图示位置时，滑槽bc的加速度、轴承o的约束反力以及作用在曲柄上的力偶矩m。
解：曲柄oa和滑槽bc、滑块a的受力分析与运动分析分别如图（a）、（b）和（c）所示，其中p ( x )表示在bc在槽上受到的分布力但我们不求这些力。建立如图所示坐标系oxy。
1）求bcd的加速度及水平力。选取bc为动系，oa曲柄上滑块a为动点，a点加速度分析如图（c）所示。
根据加速度合成定理 aa = ae + ar由于 故
根据质心运动定理，由图（b）得滑槽bc的运动微分方程
2）求轴承o的动反力及作用在曲柄oa上的力矩m
曲柄oa的质心在e点，e点加速度的方向沿曲柄oa方向，且指向o点（见图a），其大小为。
根据质心运动定理及刚体绕定轴转动微分方程
将 及= 0
代入方程（1）、（2）、（3）中，解得。
轴承动反力。
作用在曲柄oa上的力矩
综-11 图示均质杆长为2l，质量为m，初始时位于水平位置。如a端脱落，杆可绕通过b端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，b端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在b端脱落后的角速度及其质心的轨迹。
解：（一）b脱落前瞬时。
b脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。
二）b脱落后瞬时
b脱落后杆质心作抛体运动。
式（1）、（2）消去t，得
即 此即所求脱落后质心的运动轨迹。
综-13 图示机构中，物块a、b的质量均为m，两均质圆轮c、d的质量均为2m，半径均为r。轮c铰接于无重悬臂梁ck上，d为动滑轮，梁长度为3r，绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动，求：
（1）a物块上升的加速度；（2）he段绳的拉力；（3）固定端k处的约束反力。
解：图（a）
各自正向如图示）
重力功：即
上式求导：图（b）：由系统动量矩定理。
图（c）图（d）
图（c）综-15 均质细杆oa可绕水平轴o转动，另一端有一均质圆盘，圆盘可绕a在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆oa长l，质量为m1；圆盘半径r，质量为m2。摩擦不计，初始时杆oa水平，杆和圆盘静止。
求杆与水平线成角的瞬时，杆的角速度和角加速度。
解：系统由水平位置转至与水平成任意角位置的过程中机械能守恒。设水平位置oa为零势能位置，而圆盘在运动过程中，因无外力偶作用，只能作平动。因而有。
（顺）式（1）对t求导后消去，得。
与同向）综-17 图示质量为m、半径为r的均质圆柱，开始时其质心位于与ob同一高度的点c。设圆柱由静止开始沿斜面滚动而不滑动，当它滚到半径为r的圆弧ab上时，求在任意位置上对圆弧的正压力和摩擦力。
解：圆柱由静止开始沿斜面然后进入圆弧轨道过程中只滚不滑，受力及运动分析见图（a）设圆柱质心速度为v，则由动能定理得。
由图（a），根据以点d为矩心的动量矩定理有：（必须指出，这里的点d为圆柱的速度瞬心，且圆柱在运动过程中速度瞬心至质心的距离不变，才有如下的表达式）
而 由质心运动定理：
代入解得与原设反向）
综-19 均质细杆ab长为l，质量为m，起初紧靠在铅垂墙壁上，由于微小干扰，杆绕b点倾倒如图。不计摩擦，求：（1）b端未脱离墙时ab杆的角速度、角加速度及b处的反力；（2）b端脱离墙壁时的角；（3）杆着地时质心的速度及杆的角速度。
解：（1）图（a）
（未脱离时定轴转动）
即 ，即 上式求导：
图（b）：质心运动定理 ：
（2）b离墙时：fbx = 0，代入（*）式。
刚开始，未离，不合所求。
时脱离。b刚脱离墙瞬时。
此后，x方向不受力，acx = 0，vcx不变，
（3）落地前瞬时而
重力功 动能
w = t即
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