1.（2011新疆乌鲁木齐）如图，在△abc中，∠b＝90°，ab＝6米，bc＝8米，动点p以2米/秒的速度从a点出发，沿ac向点c移动．同时，动点q以1米/秒的速度从c点出发，沿cb向点b移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
1）①当t＝2.5秒时，求△cpq的面积；
求△cpq的面积s（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
2）在p，q移动的过程中，当△cpq为等腰三角形时，写出t的值；
3）以p为圆心，pa为半径的圆与以q为圆心，qc为半径的圆相切时，求出t的值．
解答：解：在rt△abc中，ab＝6米，bc＝8米，∴ac＝10米。
由题意得：ap＝2t，则cq＝1，则pc＝10－2t
过点p，作pd⊥bc于d，t＝2.5秒时，ap＝2×2.5＝5米，qc＝2.5米。
pd＝ab＝3米，∴s＝qcpd＝3.75平方米；
过点q，作qe⊥pc于点e，易知rt△qec～rt△abc ∴
s＝pcqe＝（10－2t）＝－3t（0＜t＜5）
2）当t＝秒（此时pc＝qc），秒（此时pc＝qc），或秒（此时pc＝qc）时，△cpq为等腰三角形；
过点p作pf⊥bc于点f．
则△pcf∽△acb，即 ∴pf＝6－，fc＝8－
则在直角△pfq中，pq2＝pf2＋fq2＝（6－）2＋（8－－t）2＝t2－56t＋100
当⊙p与⊙q外切时，有pq＝pa＋qc＝3t，此时pq2＝t2－56t＋100＝9t2
整理得：t2＋70t－125＝0
解得：t1＝15－35，t2＝－16－35＜0（舍去）
故，当⊙p与⊙q外切时，t＝（16－35）秒；
当⊙p与⊙q内切时，pq＝pa－qc＝t，此时，pq2＝t2－56t＋100＝t2
整理得：9t2－70t＋125＝0，解得：t1＝，t2＝5
故当⊙p与⊙q外切时，t＝秒或5秒．
2. （2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系oxy中，已知点a（﹣，0），点c（0，3），点b是x轴上一点（位于点a的右侧），以ab为直径的圆恰好经过点c．
1）求∠acb的度数；
2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过a、b两点，求抛物线的解析式；
3）线段bc上是否存在点d，使△bod为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点d的坐标；若不存在，请说明理由．
解答：解：（1）∵以ab为直径的圆恰好经过点c，∴∠acb=90°．
2）∵△aoc∽△abc，∴oc2=aoob，∵a（﹣，0），点c（0，3），，oc=3，∴，ob=4，∴b（4，0）把 a、b、c三点坐标代入得．
3）①od=db，如图： d在ob 的中垂线上，过d作dh⊥ob，垂足是h 则h 是ob 中点．dh=，，d（2， ）bd=bo，如图：过d作dg⊥ob，垂足是g，∴og：
ob=cd：cb，dg：oc=1：
5，∴og：4=1：5，dg：
3=1：5，∴og=，dg=，∴d（，
3. （2011湖北黄冈随州）如图所示，过点f（0，1）的直线y＝kx+b与抛物线交于m（x1，y1）和n（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
1）求b的值．
2）求x1x2的值．
3）分别过m，n作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是 m1和n1．判断△m1fn1的形状，并证明你的结论．
4）对于过点f的任意直线mn，是否存在一条定直线 m，使m与以mn为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
解答：解：（1）∵直线y＝kx+b过点f（0，1），∴b＝1；
2）∵直线y＝kx+b与抛物线交于m（x1，y1）和n（x2，y2）两点，可以得出：kx+b＝x2，整理得：x2－kx－1＝0， ∴x1x2＝＝－4；
3）m1（x1，－1），n1（x2，－1），f（0，1）
m1f2＝x12+4，n1f2＝x22+4，m1n12＝（x2－x1）2＝x12+x22－2x1x2＝x12+x22+8
m1f2+n1f2＝m1n12，所以△m1fn1是直角三角形．
4）y＝－1总与该圆相切．
4. (2011襄阳)如图，在平面直角坐标系xoy中，ab在x轴上，ab＝10，以ab为直径的⊙o'与y轴正半轴交于点c，连接bc，ac．cd是⊙o'的切线，ad丄cd于点d，tan∠cad＝，抛物线y＝ax2＋bx＋c过a，b，c三点．
1）求证：∠cad＝∠cab；
2）①求抛物线的解析式；
判断抛物线的顶点e是否在直线cd上，并说明理由；
3）在抛物线上是否存在一点p，使四边形pbca是直角梯形．若存在，直接写出点p的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．
解答：(1)证明：连接o′c，cd是⊙o的切线，o′c⊥cd，ad⊥cd，o′c∥ad，∠o′ca＝∠cad，o′a＝o′c，∠cab＝∠o′ca，∠cad＝∠cab；
2）①∵ab是⊙o′的直径，∠acb＝90°，oc⊥ab，∠cab＝∠ocb，△cao∽△bco，即oc2＝oaob，tan∠cao＝tan∠cad＝，ao＝2co，又∵ab＝10，oc2＝2co(10－2co)，co＞0，co＝4，ao＝8，bo＝2，a(－8，0)，b(2，0)，c(0，4)，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点a，b，c三点，c＝4，由题意得： ，
解得： ，抛物线的解析式为：y＝－x2－x＋4；
设直线dc交x轴于点f，△aoc≌△adc，ad＝ao＝8，o′c∥ad，△fo′c∽△fad，，
8(bf＋5)＝5(bf＋10)，bf＝，f(，0)；
设直线dc的解析式为y＝kx＋m，则，
解得： ，直线dc的解析式为y＝－x＋4，由y＝－x2－x＋4＝－(x＋3)2＋得顶点e的坐标为(－3，)，将e(－3，)代入直线dc的解析式y＝－x＋4中，右边＝－×3)＋4＝＝左边，抛物线顶点e在直线cd上；
3）存在，p1(－10，－6)，p2(10，－36)．
5.（2024年广西桂林）已知二次函数的图象如图。
1）求它的对称轴与轴交点d的坐标；
2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为a、b、c三点，若∠acb=90°，求此时抛物线的解析式；
3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为m，以ab为直径，d为圆心作⊙d，试判断直线cm与⊙d的位置关系，并说明理由。
答案：解： （1）由得。
2）方法一：
如图1, 设平移后的抛物线的解析式为。
则c oc=令即 得
a，b即： 得 (舍去)
抛物线的解析式为
方法二： 顶点坐标。
设抛物线向上平移h个单位，则得到，顶点坐标。
平移后的抛物线：
当时， ,得
a b∠acb=90° ∴aoc∽△cob
oa·ob
得， 平移后的抛物线：
3）方法一：
如图2, 由抛物线的解析式可得。
a(-2 ，0)，b(8，0) ，c(４，0) ，m
过c、m作直线，连结cd，过m作mh垂直y轴于h,则
在rt△cod中，cd==ad
点c在⊙d上。
△cdm是直角三角形，∴cd⊥cm
直线cm与⊙d相切
方法二：如图3, 由抛物线的解析式可得。
a(-2 ，0)，b(8，0) ，c(４，0) ，m
作直线cm,过d作de⊥cm于e, 过m作mh垂直y轴于h,则， ,由勾股定理得。
dm∥oc
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