1. （2011宁夏）在等腰△abc中，ab=ac=5，bc=6．动点m、n分别在两腰ab、ac上（m不与a、b重合，n不与a、c重合），且mn∥bc．将△amn沿mn所在的直线折叠，使点a的对应点为p．
1）当mn为何值时，点p恰好落在bc上？
2）当mn=x，△mnp与等腰△abc重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
解答：解：（1）连接ap，交mn于o，将△amn沿mn所在的直线折叠，使点a的对应点为p，oa=op，ap⊥mn，an=pn，am=pm，mn∥bc，△amn∽△abc，ao⊥mn，bc=6，mn=3，当mn=3时，点p恰好落在bc上；
3）过点a作ad⊥bc于d，交mn于o，mn∥bc，ao⊥mn，△amn∽△abc，ab=ac=5，bc=6，ad⊥bc，∠adb=90°，bd=bc=3，ad=4，ao=x，s△amn=mnao=xx=x2，当ao≤ad时，根据题意得：s△pmn=s△amn，△mnp与等腰△abc重叠部分的面积为s△amn，y=x2，当ao=ad时，即mn=bc=3时，y最小，最小值为3；
当ao＞ad时，连接ap交mn于o，则ao⊥mn，mn∥bc，ap⊥bc，△amn∽△abc，△pef∽△pmn∽△amn，即：，ao=x，ef=2x﹣6，od=ad﹣ao=4﹣x，y=s梯形mnfe=（ef+mn）od=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣x﹣4）2+4，当x=4时，y有最大值，最大值为4，综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4．
2. （2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形abcd是直角梯形，bc∥ad，∠bad＝ 90°，bc与y轴相交于点m，且m是bc的中点，a、b、d三点的坐标分别是a（－1，0），b( －1，2)，d( 3，0)，连接dm，并把线段dm沿da方向平移到on，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点d、m、n．
1）求抛物线的解析式．
2）抛物线上是否存在点p．使得pa＝pc．若存在，求出点p的坐标；若不存在．请说明理由．
3）设抛物线与x轴的另—个交点为e．点q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点q在什么位置时有最大？并求出最大值．
解答：（1）解：由题意可得m（0，2），n（－3，2）， 解得：
y＝2）∵pa＝pc， ∴p为ac的垂直平分线上，依题意，ac的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y＝－x＋1．
根据题意可列方程组。
解得：p1（）、p2（）．
3）如图所示，延长dc交抛物线的对称轴于点q，根据题意可知此时点q满足条件．
由题意可知c（1，2），d（3，0），可求得cd所在的直线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
点q在直线x＝－1.5上，又在直线上．
q（－1 .5，4.5），qe＝qd．
即当点q的坐标为（－1.5，4.5）时，有最大值，最大值为．
3. （2011四川凉山）如图，抛物线与轴交于（，0）、（0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
1）求抛物线的解析式；
2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。
解答：解：（1
又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。
抛物线的解析式为。
2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。
点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），，
mn∥bc，∴△amn∽△abc.，∴
当时，有最大值4。
此时，点的坐标为（2，0）.
3）∵点（4，）在抛物线上，当时，点的坐标是（4，）。
如图（2），当为平行四边形的边时， ，4，），
如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，则平行四边形的对称中心为（，0）.
的坐标为（，4）。
把（，4）代入，得。解得。
4. （2011湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形oabc与cdef的边oc、oa所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（o、c、f三点在x轴正半轴上）．若⊙p过a、b、e三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过a、c两点，与x轴的另一交点为g，m是fg的中点，正方形cdef的面积为1．
1）求b点坐标；
2）求证：me是⊙p的切线；
3）设直线ac与抛物线对称轴交于n，q点是此轴称轴上不与n点重合的一动点，求△acq周长的最小值；
若fq=t，s△acq=s，直接写出s与t之间的函数关系式．
解答：解：（1）如图甲，连接pe、pb，设pc=n，正方形cdef的面积为1，cd=cf=1，根据圆和正方形的对称性知：
op=pc=n，bc=2pc=2n，而pb=pe，pb2=bc2+pc2=4n2+n2=5n2，pe2=pf2+ef2=（n+1）2+1，5n2=（n+1）2+1，解得：n=1或n=- 12（舍去），bc=oc=2，b点坐标为（2，2）；
2）如图甲，由（1）知a（0，2），c（2，0），a，c在抛物线上，
{c=214×4+2b+c=0，解得： {c=2b=-32，抛物线的解析式为：y= 14x2- 32x+2= 14（x-3）2- 14，抛物线的对称轴为x=3，即ef所在直线，c与g关于直线x=3对称，cf=fg=1，mf= 12fg= 12，在rt△pef与rt△emf中，efm=∠efp， fmef=121=12， efpf=12， fmef=efpf，△pef∽△emf，∴∠epf=∠fem，∠pem=∠pef+∠fem=∠pef+∠epf=90°，me是⊙p的切线；
3）①如图乙，延长ab交抛物线于a′，连ca′交对称轴x=3于q，连aq，则有aq=a′q，△acq周长的最小值为ac+a′c的长，
a与a′关于直线x=3对称，a（0，2），a′（6，2），a′c=（6-2）2+22=2 5，而ac=22+22=2 2，△acq周长的最小值为2 2+2 5；
当q点在f点上方时，s=t+1，当q点**段fn上时，s=1-t，当q点在n点下方时，s=t-1．
5. （2011湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于a，b两点，点c为ob的中点，点d在第二象限，且四边形aocd为矩形．
1）直接写出点a，b的坐标，并求直线ab与cd交点的坐标；
2）动点p从点c出发，沿线段cd以每秒1个单位长度的速度向终点d运动；同时，动点m从点a出发，沿线段ab以每秒个单位长度的速度向终点b运动，过点p作ph⊥oa，垂足为h，连接mp，mh．设点p的运动时间为t秒．
若△mph与矩形aocd重合部分的面积为1，求t的值；
点q是点b关于点a的对称点，问bp+ph+hq是否有最小值，如果有，求出相应的点p的坐标；如果没有，请说明理由．
解答：解：（1），．
当时，，．所以直线ab与cd交点的坐标为．
2）当0＜＜时，△mph与矩形aocd重合部分的面积即△mph的面积．
过点m作，垂足为n．
由△amn∽△abo，得．
△mph的面积为．
当时，．当＜≤3时，设mh与cd相交于点e，△mph与矩形aocd重合部分的面积即。
peh的面积．
过点m作于g，交hp的延长线于点f．
由△hpe∽△hfm，得．
△peh的面积为．
当时，．综上所述，若△mph与矩形aocd重合部分的面积为1，为1或．
3）有最小值．
连接pb，ch，则四边形phcb是平行四边形．
当点c，h，q在同一直线上时，的值最小．
点c，q的坐标分别为，， 直线cq的解析式为，点h的坐标为． 因此点p的坐标为．
6. （2011菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于a，b两点，与y轴交于c点，且a（﹣1，0）．
1）求抛物线的解析式及顶点d的坐标；
2）判断△abc的形状，证明你的结论；
3）点m（m，0）是x轴上的一个动点，当mc+md的值最小时，求m的值．
解答：解：（1）∵点a（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，×（1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=
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