6．（2017武汉元调）如图，oa、ob、oc都是⊙o的半径，∠aob＝∠boc．
1）求证：∠acb＝2∠bac；
2）若ac平分∠oab，求∠aoc的度数．
解：（1）证明：在⊙o中，∵∠aob＝2∠acb，∠boc＝2∠bac，∵∠aob＝2∠boc．∴∠acb＝2∠bac．
2）解：设∠bac＝x°．∵ac平分∠oab，∴∠oab＝2∠bac＝2x°，∠aob＝2∠acb，∠acb＝2∠bac，∴∠aob＝2∠acb＝4∠bac＝4x°，在△oab中，∠aob＋∠oab＋∠oba＝180°，∴4x＋2x＋2x＝180，解得：x＝22．5，∠aoc＝6x°＝135°．
7．（2017武汉元调）如图，在rt△abc中，∠bac＝90°，bd是角平分线，以点d为圆心，da为半径的⊙d与ac相交于点e．
1）求证：bc是⊙d的切线；
2）若ab＝5，bc＝13，求ce的长．
解：（1）证明：过点d作df⊥bc于点f，∠bad＝90°，bd平分∠abc，∴ad＝df．
ad是⊙d的半径，df⊥bc，∴bc是⊙d的切线；
2）解：∵∠bac＝90°．∴ab与⊙d相切，bc是⊙d的切线，∴ab＝fb．
ab＝5，bc＝13，∴cf＝8，ac＝12．
在rt△dfc中，设df＝de＝r，则r2＋64＝（12－r）2，解得：r＝．∴ce＝．
13．（2016武汉元调）如图，ab为⊙o的直径，c为⊙o上一点，ad和过点c的切线互相垂直，垂足为d，ad交⊙o于点e．
1）求证：ac平分∠dab；
2）连接ce，若ce＝6，ac＝8，直接写出⊙o直径的长．
解：（1）证明：连接oc，∵cd是⊙o的切线，∴cd⊥oc，又∵cd⊥ad，∴ad∥oc，∴∠cad＝∠aco，oa＝oc，∴∠cao＝∠aco，∴∠cad＝∠cao，即ac平分∠dab；
2）解：∵∠cad＝∠cao，∴，ce＝bc＝6，ab为直径，∴∠acb＝90°，由勾股定理得：ab＝，即⊙o直径的长是10．
案例1】圆中的线段。
真题呈现】如图，在⊙o中，弦ab、ac互相垂直，d、e分别为ab、ac的中点，则四边形oead为（ c ）
a．正方形 b．菱形 c．矩形 d．直角梯形。
真题解读】因为d、e分别为ab、ac的中点，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，得oe⊥ac ，od⊥ab．∵ab⊥ac，∴oead为矩形，故填c．
真题变式】1．如图，在⊙o中，弦ab、cd相交于e，且ab⊥cd，ae＝2，be＝6，ce＝4，则⊙o的半径r＝ ．
解：过o作og⊥cd于g，of⊥ab于f，设de＝2x，cg＝＝2＋x，ge＝2＋x－2x＝2－x，af＝fb＝×(2＋6)＝4，∴ef＝af－ae＝4－2＝2，∴22＋(2＋x)2＝oc2＝ob2＝(2－x)2＋42，解得x＝1．5，∴r＝．
2．如图，⊙o的半径r＝6，点a、b、c在⊙o上，∠a＝60°，求ab2＋ac2－abac的值．
解：延长co交⊙o于d，连db、cb，过c作ce⊥ab于e，∵＝d＝∠a＝60°，cd为直径，∴∠cbd＝90°，∴bc＝cd＝×6×2＝6，易得ae＝，ce＝ac，ce⊥ab，∴ce2＋be2＝bc2，即＋＝，ab2＋ac2－abac＝108．
3．如图，⊙o的半径r＝6，点a、b、c在⊙o上，∠a＝60°，od⊥ab于d，oe⊥ac于e．连de，求de的长．
解：连oc、ob、bc，过o作of⊥bc于f，∵∠a＝60°．∴cob＝2×60°＝120°，oc＝ob，∴∠ocb＝30°．∵r＝6，∴of＝3，cf＝3．∴bc＝2cf＝6．
oe⊥ac，od⊥ab．∴d、e分别为ab、ac的中点．∴de＝bc＝3．
4．如图，⊙o的半径r＝6，点a、b、c在⊙o上运动，保持∠a＝60°，od⊥ab于d，oe⊥ac于e，连de，求四边形oead面积的最大值．
解：连oa、oc、ob、bc，易知de＝bc＝×6＝3．ao、de的长度不变，当ao⊥de时面积最大，∴s四边形oead＝oa de＝×6×3＝9．
5．如图，⊙o的半径r＝6，点a、b、c在⊙o上运动，保持∠bac＝60°，od⊥ab于d，oe⊥ac于e，连de，则下列结论中，错误的是(b)
a．弦bc的长为定值。
b．四边形oead的面积为定值。
c．线段de的长为定值。
d．四边形oead的面积有最大值。
案例2 切线中常见基本图形。
真题呈现]如图，ab为⊙o的直径，c为⊙o上一点，ad和过c的切线互相垂直，垂足为d，ad交⊙o于点e，连接ac．
1）求证：ac平分∠dab；
2）若ce＝6，ac＝8，直接写出⊙o直径的长．
真题解读]1）遇切线连接切点和圆心，故连co，则co⊥cd．
∵co＝ao，∴∠cao＝∠aco．∵co⊥cd，ad⊥cd，∴ad∥co，∴∠aco＝∠dac，∴∠dac＝∠cao，即ac平分∠dab．
2）用（1）的结论：∵ac平分∠dab，∴ce＝cb，∵ab为直径，∴∠acb＝90°，∴ab＝＝10．
真题变式】1．例题中在（2）的前提下：①cdde
解：①过c作cf⊥ab于f，∵∠dac＝∠cao，∴cd＝cf，cf＝＝4．8，∴de＝＝36；②易证△cde≌△cfb，∴设de＝bf＝x，∴62－x2＝82－(10－x)2，解得x＝3．6．
2．在例题条件下，已知cd＝a，de＝b．求⊙o的半径r．
解：连oc、be相交于f，连ce，易证：△dce≌△fbc．
在△ofb中，ob2＝of2＋bf2，∴(r－b)2＋a2＝r2，解得r＝．
3．在例题条件下，已知r＝6，ce＝2，则①rcd
解： ①r2－32＝（2）2＝（－3）2，解得r1＝5，r2＝－2（舍去）．
cd＝＝1．
4．在例题条件下，延长ab，dc相交于f，若∠f＝α，连接ac．
1）如图1，当α＝30°时。
2）如图2，当α＝45°时1
3）如图3，当α＝60°时1
案例3 图中几何变换。
真题呈现】
如图，△abc是等边三角形，o为bc的中垂线ah上的动点，⊙o经过b，c两点，d为上一点，d，a两点在bc边异侧，连接ad，bd，cd．
1）如图1，若⊙o经过点a，求证：bd＋cd＝ ad；
2）如图2，圆心o在bd上，若∠bad＝ 45°，求∠adb的度数；
3）如图 3，若 ah＝oh，求证：bd2＋cd2＝ad2．
真题解读】1）求证的是两条线段之和等于第三条线段，故考虑截长补短法，结合为等边三角形考虑旋转．
方法一：延长bd到f，使df＝dc，再证△bcf ≌ acd；
方法二：在ad上截取dg＝dc，连接cg，先证△dcg为等边三角形，再证△acg≌△bcd；
方法三：此题也可作垂线，构造全等；过c作cm⊥ad于m，cn⊥bd于n．先证△acm≌△bcn，再证△mcd≌△ncd．
解后反思】当△abc为等边三角形时，，一般化，对于等腰△abc不妨设ab＝bc，且∠abc＝α，为多少呢？不妨先特殊化：α＝90°，60°， 120°，的值分别为，1，
2）几何直观可以猜想，△bcd为等腰直角三角形，但无法证明．看此问题添加了条件∠bad＝45°，联想到等腰直角三形，故设ad交⊙o于e，连接be，则be⊥ed，∴∠bae＝∠abe＝45°，则∠cae＝∠cbe＝15°，∵cbe＝∠cda＝15°，∴cae＝∠cda，∴ ac＝cd＝bc，∵bd为⊙o的直径，∴∠bcd＝90°，∠cdb＝45°，∴adb＝45°－15°＝30°．
真题变式】1．如图，ab是⊙o的直径，c为圆上一点，△acd为等边三角形，d在⊙o外，已知∠adb＝45°，⊙o的半径为4，则ad的长为 ．
解：①∠cdb＝60°－45°＝15°；
②∠cbd＝180°－60°－90°－15°＝15°；
dc＝cb＝ac＝ad；④ad＝ac＝4．
2．如图，ab是⊙o的直径，c为圆上一点，△acd为等边三角形，d在⊙o外，已知∠abd＝30°，则的值为 ．
解：①设bd与⊙o相交于e，连接ae、ec，∵弧ae＝弧ae，∴∠ace＝∠abd＝30°＝∠dce；②△dce≌△ace；③de＝ae；④＝
真题解读】第三问：看条件ah＝oh，o为bc的中垂线ah上的动点，∴ao与bc相互垂直且平分，∴四边形aboc为菱形．∴∠boc＝∠bac＝60°，∠bdc＝∠boc＝30°，看结论：要证bd2＋cd2＝ad2，要用勾股定理解题，而30°＋60°＝90°，故以bd为边向外作等边三角形bed，于是思路找到：
先证△abd≌△cbe，得到ad＝ce，在rt△ced中，易得ed2＋cd2＝ce2，∴bd2＋cd2＝ad2．
真题变式】3．四边形abcd中，∠bcd＝30°，连bd、△abd为等边三角形，△bcd的外接圆圆心为o，若⊙o的半径为8，则s△abd16
4．四边形abcd中，∠bcd＝30°，ac＝6，ab＝bd＝ad，求△bcd的面积的最大值．
解：以cd为边作等边△cde，ad＝bd，dc＝de，∠adc＝60°＋∠bdc＝∠boe，∴△adc≌△bde，∴ac＝be．在△bce中，be2＝bc2＋ce2，即bc2＋cd2＝ac2＝36≥2bc·cd，∴bc·cd≤18．5，s△bcd＝bc·cd≤×18＝．
5．四边形abcd中，ab＝bc＝ac，ac⊥cd，若∠abd＝45°，则∠adb的度数为。
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