题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题。
求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为d，则当x∈d时，有f(x)≥m恒成立f(x)min≥m；f(x)≤m恒成立f(x)max≤m；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得。
例1】 等比数列的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋恒成立的正整数n的取值范围。
分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围。
解】 由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.
由等比数列的性质知：数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，则须＞，把a＝q18代入上式并整理，得q18(qn－1)＞q(1－)，qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数的取值范围是n≥20.
点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果。本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用。
例2】 （08·全国ⅱ）设数列的前项和为sn．已知a1＝a，an+1＝sn＋3n，n∈n*．(设bn＝sn－3n，求数列的通项公式；（ⅱ若an+1≥an，n∈n*，求a的取值范围．
分析】 第（ⅰ）小题利用sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（ⅱ）小题将条件an+1≥an转化为关于n与a的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min求解．
解】 (依题意，sn+1－sn＝an+1＝sn＋3n，即sn+1＝2sn＋3n，由此得sn+1－3 n+1＝2(sn－3n)．
因此，所求通项公式为bn＝sn－3n＝(a－3)2 n1，n∈n*,
ⅱ)由①知sn＝3n＋(a－3)2 n1，n∈n*，于是，当n≥2时，an＝sn－sn1＝3n＋(a－3)2 n1－3n1－(a－3)2 n2＝2×3n1＋(a－3)2 n2，an+1－an＝4×3 n1＋(a－3)2 n2＝2 n2·[12·()n2＋a－3]，当n≥2时，an+1≥an，即2 n2·[12·()n2＋a－3]≥0，12·()n2＋a－3≥0，∴a≥－9，综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞
点评】 一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑sn与an的关系求解。本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视。
题型二数列参与的不等式的证明问题。
此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的。
例3】 已知数列是等差数列，其前n项和为sn，a3＝7，s4＝24．(ⅰ求数列的通项公式；(ⅱ设p、q都是正整数，且p≠q，证明：sp+q＜(s2p＋s2q)．
分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决第(ⅰ)小题；第(ⅱ)小题利用差值比较法就可顺利解决。
解】 （设等差数列的公差是d，依题意得， ，解得，数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
ⅱ）证明：∵an＝2n＋1，∴sn＝＝n2＋2n．
2sp+q－(s2p＋s2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2，p≠q，∴2sp+q－(s2p＋s2q)＜0，∴sp+q＜(s2p＋s2q)．
点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化。
例4】 (08·安徽高考)设数列满足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈n*，其中c为实数。(ⅰ证明：an∈[0，1]对任意n∈n*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；(设0＜c＜，证明：
an≥1－(3c)n1，n∈n*；（设0＜c＜，证明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，n∈n*.
分析】 第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n项和求和，再进行适当放缩。
解】（ⅰ必要性：∵a1＝0，a2＝1－c，又∵a2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即c∈[0，1].
充分性：设c∈[0，1]，对n∈n*用数学归纳法证明an∈[0，1].
1)当n＝1时，a1∈[0，1].
2)假设当n＝k时，ak∈[0，1](k≥1)成立，则。
ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0，ak＋1∈[0，1]，这就是说n＝k＋1时，an∈[0，1].
由（1）、（2）知，当c∈[0，1]时，知an∈[0，1]对所胡n∈n*成立。
综上所述，an∈[0，1]对任意n∈n*成立的充分必要条件是c∈[0，1].
ⅱ）设0＜c＜，当n＝1时，a1＝0，结论成立。
当n≥2时，由an＝can13＋1－c，∴1－an＝c(1－an1)(1＋an1＋an12)
0＜c＜，由(ⅰ)知an1∈[0，1]，所以1＋an1＋an12≤3，且1－an1≥0，∴1－an≤3c(1－an1)，1－an≤3c(1－an1)≤(3c)2(1－an2)≤…3c) n1(1－a1)＝(3c) n1，∴an≥1－(3c)n1，n∈n*.
ⅲ)设0＜c＜，当n＝1时，a12＝0＞2－，结论成立。
当n≥2时，由（ⅱ）知an≥1－(3c)n1＞0，an2≥[(1－(3c)n1)] 2＝1－2(3c)n1＋(3c)(n1)＞1－2(3c)n1，a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋(3c)2＋…＋3c)n1]
n－1－2[1＋3c＋(3c)2＋…＋3c)n1－1]＝n＋1－＞n＋1－.
点评】 本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意。本题的第(ⅰ)小题实质也是不等式的证明，题型三求数列中的最大值问题。
求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值。
例5】 (08·四川高考)设等差数列的前项和为sn，若s4≥10，s5≤15，则a4的最大值为___
分析】 根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a1与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，由此可确定a4的最大值。
解】 ∵等差数列的前项和为sn，且s4≥10，s5≤15，，即，∴ a4≤3＋d，则5＋3d≤6＋2d，即d≤1.
a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.
点评】 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用。
例6】 等比数列的首项为a1＝2002，公比q＝－．设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式；(ⅱ当n取何值时，f(n)有最大值．
分析】 第(ⅰ)小题首先利用等比数列的通项公式求数列的通项，再求得f(n)的表达式；第(ⅱ)小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值。
解】 (an＝2002·(－n1，f(n)＝2002n·(－
ⅱ)由(ⅰ)得＝，则。
当n≤10时，＝＞1，∴|f(11)|＞f(10)|＞f(1)|，当n≥11时，＝＜1，∴|f(11)|＞f(12)|＞f(13)|＞f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者．
＝＝20023·()30＝()3＞1，当n＝12时，f(n)有最大值为f(12)＝200212·()66．
点评】 本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(12)与f(9)的大小。整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况。
题型四求解探索性问题。
数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在。若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果。
例7】 已知的前n项和为sn，且an＋sn＝4.(ⅰ求证：数列是等比数列；(ⅱ是否存在正整数k，使＞2成立。
分析】 第(ⅰ)小题通过代数变换确定数列an+1与an的关系，结合定义判断数列为等比数列；而第(ⅱ)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性。
解】 (由题意，sn＋an＝4，sn+1＋an+1＝4，由两式相减，得(sn+1＋an+1)－(sn＋an)＝0，即2an+1－an＝0，an+1＝an，又2a1＝s1＋a1＝4，∴a1＝2，∴数列是以首项a1＝2，公比为q＝的等比数列。
ⅱ)由(ⅰ)得sn＝＝4－22n.
又由＞2，得＞2，整理，得＜21k＜1，即1＜2 k 1＜，k∈n*，∴2k1∈n*，这与2k1∈(1，)相矛盾，故不存在这样的k，使不等式成立。
点评】 本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“k∈n*”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱。
数列综合题型
1.数列满足的前n项和。1 计算数列的前4项 2 猜想的表达式，并证明 3 求数列的前n项和。2.设数列为等差数列，且a5 14，a7 20。i 求数列的通项公式 ii 若。3.正项的等差数列中，数列是等比数列，且，则 4.在4月份 按30天计算 有一 服装投入某商场销售，4月1日该款服装仅销售出1...
理科 数列综合题型
数列的综合应用。一 与函数综合 例 已知数列满足 an 1 n n 数列的前n项和sn 12 12 n n n 1 求数列和的通项公式 2 设cn 是否存在，使cm 9成立？并说明理由。解答 1 由，由及，可得，令，则也满足上式，2 设为数列中的最大项，则，即为中的最大项。不存在，使成立。例2 等比...
高中数列综合题型
的结论。例1 已知数列是公差d 0的等差数列，其前n项和为s 2 过点q 1，a q 2，a 作直线l2，设l与l的夹角为 万能通项 递推公式，特殊数列的证明方法。例2 已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证 数列是等比数列 设数列，求证 数列是等差数列 求数列的通项公式及前项和。数列的求和方法...