数列的综合应用。
一、 与函数综合：
例、已知数列满足：,an+1= (n n),数列的前n项和sn=12-12()n(n n). 1) 求数列和的通项公式；
2) 设cn=,是否存在，使cm≥9成立？并说明理由。
解答：（1）由，∴,
由及，可得，令，则也满足上式，∴.
（2）,设为数列中的最大项，则，∴.
即为中的最大项。∵,不存在，使成立。
例2、等比数列的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞恒成立的正整数n的范围。
解】 由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.由等比数列的性质知数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，则须＞，把a＝q 18代入上式并整理，得q 18(qn－1)＞q(1－)，qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数的取值范围是n≥20.
例3、设数列的前项和为sn．已知a1＝a，an+1＝sn＋3n，n∈n*．(1)设bn＝sn－3n，求数列的通项公式；（2）若an+1≥an，n∈n*，求a的取值范围．
解】 (1)依题意，sn+1－sn＝an+1＝sn＋3n，即sn+1＝2sn＋3n，由此得sn+1－3 n+1＝2(sn－3n)．
因此，所求通项公式为bn＝sn－3n＝(a－3)2 n 1，n∈n*,
2)由①知sn＝3n＋(a－3)2 n 1，n∈n*，于是，当n≥2时，an＝sn－sn 1＝3n＋(a－3)2 n 1－3n 1－(a－3)2 n 2＝2×3n 1＋(a－3)2 n 2，an+1－an＝4×3 n 1＋(a－3)2 n 2＝2 n 2·[12·()n 2＋a－3]，当n≥2时，an+1≥an，即2 n 2·[12·()n 2＋a－3]≥0，12·()n 2＋a－3≥0，a≥－9，综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞
例4、在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令。（ⅰ求数列的通项公式；（ⅱ设求数列的前项和。
解：（i）设构成等比数列，其中则。
①×②并利用。
（ii）由题意和（i）中计算结果，知。
另一方面，利用。得。所以。
巩固练习】 设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7
解析] 记公差为d，则f(a1)＋f(a2)＋…f(a7)
(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋a7－3)3＋(a1＋a2＋…＋a7)－7
(a4－3d－3)3＋(a4－2d－3)3＋…＋a4＋2d－3)3＋(a4＋3d－3)3＋7a4－7
7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7a4－7.
由已知，7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7a4－7＝14，即7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7(a4－3)＝0，(a4－3)3＋4(a4－3)＝0.因为f(x)＝x3＋4x在r上为增函数，且f(0)＝0，故a4－3＝0，即a4＝3，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×3＝21.
二、 积偶项问题。
1、相邻两项符号相异；
例1：求和：
解：当为偶数时：
当为奇数时：
2、相邻两项之和为常数；
例2：已知数列中a1=2，an+an+1=1，sn为前n项和，求sn
解：①当n为偶数时：
②当n为奇数时：
3、相间两项之差为常数；
例3：已知数列中a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），sn为前n项和，求sn
解：∵an-an-2=2 （n≥3）
∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n为等差数列。
当n为奇数时：
当n为偶数时：
即n∈n+时，
①n为奇数时：
②n为偶数时：
4、相间两项之比为常数；
例4：已知an，an+1为方程的两根n∈n+，a1=2，sn=c1+c2+…+cn，求an及s2n。
解：依题意： ∴其中。
为等比数列；为等比数列。
∴①n为偶数时n为奇数时：
则有： 而cn=an+an+1
∴①n为奇数时，n+1为偶数：
则： ②n为偶数时，n+1为奇数： 则： 于是。
三、 与不等式综合问题。
例1：（2012山东高考文）已知等差数列的前5项和为105，且。
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为。求数列的前m项和。
20)(i)由已知得：解得，所以通项公式为。
ii)由，得，即。∵，是公比为49的等比数列，.
例2、(2013德州二模)（本小题满分12分）
各项均为正数的等比数列中，已知a1=2，a5= 512，tn是数列的前n项和．
（i）求数列的通项公式； （求tn；
（ⅲ）求满足的最大正整数n的值．
例3、已知为锐角，且，函数，数列的首项。
⑴ 求函数的表达式； ⑵求证：；
求证： 例3、⑴又∵为锐角都大于0
又。例4已知数列满足。
1）求数列的通项公式；
2）若数列满足，证明：是等差数列；
3）证明：
例4（12分。
故数列是首项为2，公比为2的等比数列。……3分。
4分。2），…5分。
—①得，即③……8分。
—③得，即………9分。
所以数列是等差数列。
311分。设，则
………13分。
14分。例5已知数列的前项和为，且对于任意的，恒有，设．
1）求证：数列是等比数列；
2）求数列的通项公式和；
3）若，证明：．
四、 存在性问题。
例1、已知的前n项和为sn，且an＋sn＝4.
1)求证：数列是等比数列；(2)是否存在正整数k，使＞2成立。
解】 (由题意，sn＋an＝4，sn+1＋an+1＝4，由两式相减，得(sn+1＋an+1)－(sn＋an)＝0，即2an+1－an＝0，an+1＝an，又2a1＝s1＋a1＝4，∴a1＝2，∴数列是以首项a1＝2，公比为q＝的等比数列。
ⅱ)由(ⅰ)得sn＝＝4－22 n.
又由＞2，得＞2，整理，得＜21 k＜1，即1＜2 k 1＜，k∈n*，∴2k 1∈n*，这与2k 1∈(1，)相矛盾，故不存在这样的k，使不等式成立。
五、子数列问题。
1、从一个数列中按下标的规律取出一些项构成新的数列。
例1、已知等差数列中，，前10项和，若从数列中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第项，按原顺序组成新数列，且这数列前n项和为，试比较与的大小。
解析： 当， >2
当n=5时， =2当n>5时， <2。
例2．等差数列的首项是2，前10项之和是15，记求及的最大值．
分析：由已知可求出公差d．解好本题的关键是对“”这一表达式准确、全面的认识：是数列的子数列，其中2，4，8，……组成等比数列，则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，问题不仅较易于解决，而且从不同角度入手可得到求最大值的不同解法．
解：，解得求的最大值有以下三种解法．
解法一： 由令，解得又，解得即在数列中所以当时，的值最大，其最大值为：
解法二：数列的通项令，得，由此可得故使，的最大值为4．
解法三：由，若存在自然数，使得，且，则的值最大．
解得，取时，有最大值：
反思回顾：上述三种求最值的方法都是运用函数思想．解法一是通过数列的单调性及值的正负，求子数列的前n项和的最值．解法二是直接研究子数列．解法三是研究的单调性求其最值，解法三还可简化为研究函数的单调性．
数列综合题型
1.数列满足的前n项和。1 计算数列的前4项 2 猜想的表达式，并证明 3 求数列的前n项和。2.设数列为等差数列，且a5 14，a7 20。i 求数列的通项公式 ii 若。3.正项的等差数列中，数列是等比数列，且，则 4.在4月份 按30天计算 有一 服装投入某商场销售，4月1日该款服装仅销售出1...
数列综合题型总结
题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题。求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略 1 若函数f x 在定义域为d，则当x d时，有f x m恒成立f x min m f x m恒成立f x max m 2 利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得。例1 ...
理科综合题型示例
理科综合 14 为了解释地球的磁性，1 9世纪安培假设 地球的磁场是由绕过地心的轴的环形电流i引起的。在下列4个图中，正确表示安培假设中环形电流方向的是。答案 b 分析 本题利用物理科学史实，考查考生对电流产生磁场的规律的理解和应用，同时，要求考生对地磁场的概念要有一定的了解。考核的内容比较容易。本...