数列的综合题常见题型分析。
题型一：裂项相消法在求和中的应用。
例：[2013·江西卷] 正项数列的前n项和sn满足：s－(n2＋n－1)sn－(n2＋n)＝0.
1)求数列的通项公式an；(2)令bn＝，数列的前n项和为tn，证明：对于任意的n∈n*，都有tn<.
解：(1)由s－(n2＋n－1)sn－(n2＋n)＝0，得[sn－(n2＋n)](sn＋1)＝0.
由于是正项数列，所以sn>0，sn＝n2＋n.
于是a1＝s1＝2，n≥2时，an＝sn－sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列的通项为an＝2n.
2)证明：由于an＝2n，bn＝，则bn＝＝.tn＝
训练：1、(2011·新课标全国)等比数列的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
1)求数列的通项公式；
2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
解：(1)设数列的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝. 故数列的通项公式为an＝.
2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－
故＝－＝2.
所以数列的前n项和为－.
题后反思： 本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算．考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力．对于通项公式，可以利用基本量求出首项和公比；对于数列求和，可通过对数运算求出bn，然后利用裂项求和．
考点总结：使用裂项求和时，要注意正负项相消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项是前后对称的，这特点实质上造成正负相消是此法的根源与目的。
变式练习：1. 数列的各项均为正数sn为其前n项和，对于任意的n∈n*满足关系式2sn＝3an－3.
1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项公式是bn＝，前n项和为tn，求证：对于任意的正数n，总有tn＜1.
1)解由已知得(n≥2)．
故2(sn－sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．
故数列为等比数列，且公比q＝3.
又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3，∴an＝3n.
2)证明 ∵bn＝＝－
tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋1－＜1.
2. [2013·广东]设各项均为正数的数列的前n项和为sn，满足4sn＝a－4n－1，n∈n*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝；(2)求数列的通项公式；(3)证明：
对一切正整数n，有＋＋…
解析：(1)∵4a1＝a－4－1＝a－5，∴a＝4a1＋5.又a2>0，∴a2＝.
2)由题设条件，当n≥2时，4an＝4(sn－sn－1)＝(a－4n－1)－[a－4(n－1)－1]＝a－a－4，整理得(an＋1－an－2)(an＋1＋an＋2)＝0.
注意到an>0得an＋1－an＝2，n≥2.
a2，a5，a14成等比数列，∴a＝(a2＋6)2＝a2(a2＋24)．解得a2＝3，an＝3＋2(n－2)＝2n－1，n≥2.又由(1)得a1＝1，故对一切正整数n，有an＝2n－1.
3. 在数列中，，并且对于任意n∈n*，都有．
1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；
2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数。
解：(1)，因为，所以，数列是首项为1，公差为2的等差数列4分，从而6分。
(2)因为8分。
所以。………10分。
由，得，最小正整数为9112分。
4. 已知公差大于零的等差数列的前n项和sn，且满足：a2·a4＝65，a1＋a5＝18.
1)若1(2)设bn＝，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bn解 (1)为等差数列，∵a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d>0，∴a2∴a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3.由于1∴a1·a21＝a，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.
2)由(1)知，sn＝n·1＋·4＝2n2－n，所以bn＝＝，b1＋b2＋…＋bn＝＝，因＝－<所以存在m＝使b1＋b2＋…＋bn5. 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为，数列的首项为c，且前n项和满足－=+n2）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列的前n项和为sn，且s4＝4s2，a2n＝2an＋1.
1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为tn，且tn＋＝λ为常数)，令cn＝b2n(n∈n*)，求数列的前n项和rn.
解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d.由s4＝4s2，a2n＝2an＋1
得解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈n*.
2)由题意知tn＝λ－所以n≥2时，bn＝tn－tn－1＝－＋
故cn＝b2n＝＝(n－1) ，n∈n*.
所以rn＝0×＋1×＋2×＋3×＋…n－1)×，则rn＝0×＋1×＋2×＋…n－2)×＋n－1)×，两式相减得rn＝＋＋n－1)×＝n－1)×
－， 整理得rn＝4－.所以数列的前n项和rn＝4－.
变式练习：1. 2013·高考山东卷)设等差数列的前n项和为sn，且s4＝4s2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足＋＋…1－，n∈n*，求的前n项和tn.
思路点拨】 (1)由于已知是等差数列，因此可考虑用基本量a1，d表示已知等式，进而求出的通项公式．
2)先求出，进而求出的通项公式，再用错位相减法求的前n项和．
解】(1)设等差数列的首项为a1，公差为d.
由s4＝4s2，a2n＝2an＋1，得解得。
因此an＝2n－1，n∈n*.
2)由已知＋＋…1－，n∈n*，当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－(1－)＝
所以＝，n∈n*.
由(1)知an＝2n－1，n∈n*，所以bn＝，n∈n*.
所以tn＝＋＋tn＝＋＋
两式相减，得tn
所以tn＝3－.
2. 已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有。函数，数列的首项。 （求数列的通项公式；（ⅱ令求证：是等比数列并求通项公式； （令，，求数列的前n项和。
解： （由。
得1分。由②—①得
即2分。由于数列各项均为正数， -3分。
即数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是4分。
ⅱ）由知，所以。
有，即6分。
而，故是以为首项，公比为2的等比数列。--7分所以-8分。
9分。所以数列的前n项和。
-④得，-考点总结：错位相减求数列的前n项和是一类重要方法，应用时抓住数列的特征。即数列的项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项相乘所得数列的求和问题，所谓错位就是找同类项相减，等比部分求和时注意查清项数。
题型三：公式法求和在数列中的应用：
例：[2013·浙江卷] 在公差为d的等差数列中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|.
解：(1))由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.所以d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈n*或an＝4n＋6，n∈n*.
2)设数列的前n项和为sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则。
当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|＝－n2＋n.
当n≥12时， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|＝－sn＋2s11＝n2－n＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|＝
变式练习：：
1.已知为递减的等比数列，且．（ⅰ求数列的通项公式；（ⅱ当时，求证：…+
数列综合题型
1.数列满足的前n项和。1 计算数列的前4项 2 猜想的表达式，并证明 3 求数列的前n项和。2.设数列为等差数列，且a5 14，a7 20。i 求数列的通项公式 ii 若。3.正项的等差数列中，数列是等比数列，且，则 4.在4月份 按30天计算 有一 服装投入某商场销售，4月1日该款服装仅销售出1...
数列综合题型总结
题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题。求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略 1 若函数f x 在定义域为d，则当x d时，有f x m恒成立f x min m f x m恒成立f x max m 2 利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得。例1 ...
理科 数列综合题型
数列的综合应用。一 与函数综合 例 已知数列满足 an 1 n n 数列的前n项和sn 12 12 n n n 1 求数列和的通项公式 2 设cn 是否存在，使cm 9成立？并说明理由。解答 1 由，由及，可得，令，则也满足上式，2 设为数列中的最大项，则，即为中的最大项。不存在，使成立。例2 等比...