一、 向量的概念。
1 如图1，设是正六边形的中心，分别。
写出图中与向量，，相等的向量。
2. 如图2，梯形中，，分别是腰、
的三等分点，且，，求．
二、向量运算法则。
一）向量加法。
例1 如图，一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
解：设表示船向垂直与对岸行驶的速度，表示水流的。
速度，以、为邻边作，则就是船实际。
航行的速度，在△中， ，答：船实际航行速度的大小为，方向与流速间的夹角为。
例2 已知矩形中，宽为，长为， ，试作出向量，并求出其模的大小。
解：作，则如图。
，答：向量就是向量，其模为。
3 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，则飞行的路程为 400千米 ；两次位移的和的方向为北偏东，大小为千米．
二）向量减法。
1．已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围。
2．如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若，求证．
三）向量数乘。
1. 如图，、不共线，，用、表示．解：∵，
2 已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．
解：（1）∵
3）连接，则，．
3．设，是两个不共线向量，求与。
共线的充要条件。
三、平面向量的基本运算。
1 已知，，求，，的坐标．
2 已知 abcd的三个顶点的坐标分别为、、，求顶点的坐标。
3 （1）已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为，2）已知，，，且，求，．
解：（2）由题意，4 已知，，若与平行，求．
解： =5 已知，，，则以，为基底，求。
解：令，则。
四、平面向量的数量积。
1．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有。
②若，则对任一非零向量，有。
③若，，则。
④若，则至少有一个为零向量。
⑤若，则当且仅当时成立。
⑥对任意向量，有。
2.已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得： ①
两式相减得：， 代入①或②得：，设的夹角为，则 ∴，即与的夹角为．
3.为非零向量，当的模取最小值时，①求的值求证：与垂直。
解：①，当时，最小；
②∵，与垂直。
4．设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角。
5．设，是相互垂直的单位向量，求．
6.已知，求证是直角三角形。
证明：∵，∴∴所以，是直角三角形。
7.在中，，，求值。
解：当时，， 当时，当时，，∴
8.已知，1）求证： （2）若与的模相等，且，求的值。
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