二次函数综合题型精讲精练。
主讲:杨老师
题型一:二次函数中的最值问题。
例1:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过a(﹣2,﹣4),o(0,0),b(2,0)三点.
1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
2)若点m是该抛物线对称轴上的一点,求am+om的最小值.
解析:(1)把a(﹣2,﹣4),o(0,0),b(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得。
解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0
所以解析式为y=﹣x2+x.
2)由y=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,可得。
抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段ob
om=bmom+am=bm+am
连接ab交直线x=1于m点,则此时om+am最小。
过点a作an⊥x轴于点n,在rt△abn中,ab===4,因此om+am最小值为.
方法提炼:已知一条直线上一动点m和直线同侧两个固定点a、b,求am+bm最小值的问题,我们只需做出点a关于这条直线的对称点a’,将点b与a’连接起来交直线与点m,那么a’b就是am+bm的最小值。同理,我们也可以做出点b关于这条直线的对称点b’,将点a与b’连接起来交直线与点m,那么ab’就是am+bm的最小值。
应用的定理是:两点之间线段最短。aabb
m 或者ma’ b’
例2:已知抛物线的函数解析式为,若抛物线经过点,方程的两根为,,且。
1)求抛物线的顶点坐标。
2)已知实数,请证明:≥,并说明为何值时才会有。
3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线,设,是上的两个不同点,且满足:,,请你用含有的表达式表示出△的面积,并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。
解析:(1)∵抛物线过(0,点,∴-3a=-3
∴a∴y=x2+bx-3
∵x2+bx-3=的两根为x1,x2且=4
=4且b<0
by=x2-2x-3=x-1)
抛物线c1的顶点坐标为。
2)∵x>0,
显然当x=1时,才有
3)方法一:由平移知识易得c2的解析式为:y=x2
a(m,m2),b(n,n2)
δaob为rtδ
oa2+ob2=ab2
m2+m4+n2+n4=(m-n)2+m2-n2)2
化简得:m n
sδaob==
m n=-1
sδaob=
sδaob的最小值为1,此时m
直线oa的一次函数解析式为y=x
方法提炼:①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=
例3:如图,已知抛物线经过点a(﹣1,0)、b(3,0)、c(0,3)三点.
1)求抛物线的解析式.
2)点m是线段bc上的点(不与b,c重合),过m作mn∥y轴交抛物线于n,若点m的横坐标为m,请用m的代数式表示mn的长.
3)在(2)的条件下,连接nb、nc,是否存在m,使△bnc的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
解析:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则:
a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;
抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.
2)设直线bc的解析式为:y=kx+b,则有:
解得;故直线bc的解析式:y=﹣x+3.
已知点m的横坐标为m,则m(m,﹣m+3)、n(m,﹣m2+2m+3);
故mn=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).
3)如图;s△bnc=s△mnc+s△mnb=mn(od+db)=mn×ob,s△bnc=(﹣m2+3m)×3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);
当m=时,△bnc的面积最大,最大值为.
方法提炼:因为△bnc的面积不好直接求,将△bnc的面积分解为△mnc和△mnb的面积和。然后将△bnc的面积表示出来,得到一个关于m的二次函数。
此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时,在顶点处取得最大值;当二次函数的开口向上时,在顶点处取得最小值。
题型二:二次函数与三角形的综合问题。
例4:如图,已知:直线交x轴于点a,交y轴于点b,抛物线y=ax2+bx+c经过a、b、c(1,0)三点。
1)求抛物线的解析式;
2)若点d的坐标为(-1,0),在直线上有一点p,使δabo与δadp相似,求出点p的坐标;
3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点e,使δade的面积等于四边形apce的面积?如果存在,请求出点e的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(1):由题意得,a(3,0),b(0,3)
抛物线经过a、b、c三点,∴把a(3,0),b(0,3),c(1,0)三点分别代入得方程组。
解得: 抛物线的解析式为
2)由题意可得:△abo为等腰三角形,如图所示,若△abo∽△ap1d,则。
dp1=ad=4 ,p1
若△abo∽△adp2 ,过点p2作p2 m⊥x轴于m,ad=4,
△abo为等腰三角形, ∴adp2是等腰三角形,由三线合一可得:dm=am=2= p2m,即点m与点c重合 ∴p2(1,2)
3)如图设点e,则
当p1(-1,4)时,s四边形ap1ce=s△acp1+s△ace
点e在x轴下方 ∴
代入得:,即。
此方程无解。
当p2(1,2)时,s四边形ap2ce=s三角形acp2+s三角形ace =
点e在x轴下方 ∴ 代入得:
即,∵△4)2-4×5=-4<0
此方程无解。
综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点e。
方法提炼:①求一点使两个三角形相似的问题,我们可以先找出可能相似的三角形,一般是有几种情况,需要分类讨论,然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。②要求一个动点使两个图形面积相等,我们一般是设出这个动点的坐标,然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。
如果图形面积直接求不好求的时候,我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。
例5:如图,点a在x轴上,oa=4,将线段oa绕点o顺时针旋转120°至ob的位置.
1)求点b的坐标;
2)求经过点a.o、b的抛物线的解析式;
3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点p,使得以点p、o、b为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点p的坐标;若不存在,说明理由.
解析:(1)如图,过b点作bc⊥x轴,垂足为c,则∠bco=90°,∠aob=120°,∠boc=60°,又∵oa=ob=4,oc=ob=×4=2,bc=obsin60°=4×=2,点b的坐标为(﹣2,﹣2);
2)∵抛物线过原点o和点a.b,可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将a(4,0),b(﹣2.﹣2)代入,得。
解得,此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
3)存在,如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为d,设点p的坐标为(2,y),若ob=op,则22+|y|2=42,解得y=±2,当y=2时,在rt△pod中,∠pdo=90°,sin∠pod==,pod=60°,∠pob=∠pod+∠aob=60°+120°=180°,即p、o、b三点在同一直线上,y=2不符合题意,舍去,点p的坐标为(2,﹣2)
若ob=pb,则42+|y+2|2=42,解得y=﹣2,故点p的坐标为(2,﹣2),若op=bp,则22+|y|2=42+|y+2|2,解得y=﹣2,故点p的坐标为(2,﹣2),综上所述,符合条件的点p只有一个,其坐标为(2,﹣2),方法提炼:求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件,这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形,只要三角形的任意两个边相等就可以,所以应该分三种情况来讨论。
题型三:二次函数与四边形的综合问题。
例6:综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于a.b两点,与y轴交于点c,点d是该抛物线的顶点.
1)求直线ac的解析式及b,d两点的坐标;
2)点p是x轴上一个动点,过p作直线l∥ac交抛物线于点q,试**:随着p点的运动,在抛物线上是否存在点q,使以点a.p、q、c为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点q的坐标;若不存在,请说明理由.
3)请在直线ac上找一点m,使△bdm的周长最小,求出m点的坐标.
解析:(1)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3.
点a在点b的左侧,a.b的坐标分别为(﹣1,0),(3,0).
当x=0时,y=3.
c点的坐标为(0,3)
设直线ac的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),则,解得,直线ac的解析式为y=3x+3.
y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,顶点d的坐标为(1,4).
2)抛物线上有三个这样的点q,当点q在q1位置时,q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点q1的坐标为(2,3);
当点q在点q2位置时,点q2的纵坐标为﹣3,代入抛物线可得点q2坐标为(1+,﹣3);
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