中考数学函数综合题题型

二次函数综合题型精讲精练。

主讲：杨老师

题型一：二次函数中的最值问题。

例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过a（﹣2，﹣4），o（0，0），b（2，0）三点．

1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

2）若点m是该抛物线对称轴上的一点，求am+om的最小值．

解析：（1）把a（﹣2，﹣4），o（0，0），b（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得。

解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0

所以解析式为y=﹣x2+x．

2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得。

抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段ob

om=bmom+am=bm+am

连接ab交直线x=1于m点，则此时om+am最小。

过点a作an⊥x轴于点n，在rt△abn中，ab===4，因此om+am最小值为．

方法提炼：已知一条直线上一动点m和直线同侧两个固定点a、b，求am+bm最小值的问题，我们只需做出点a关于这条直线的对称点a’，将点b与a’连接起来交直线与点m，那么a’b就是am+bm的最小值。同理，我们也可以做出点b关于这条直线的对称点b’，将点a与b’连接起来交直线与点m，那么ab’就是am+bm的最小值。

应用的定理是：两点之间线段最短。aabb

m 或者ma’ b’

例2：已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，，且。

1）求抛物线的顶点坐标。

2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有。

3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，，请你用含有的表达式表示出△的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。

解析：（1）∵抛物线过（０,点，∴－3a＝－３

∴a∴ｙ＝x2＋bx－３

∵x2＋bx－３=的两根为x1,x2且＝４

＝４且b＜０

bｙ＝x2－２x－３＝x－１）

抛物线ｃ１的顶点坐标为。

2）∵x＞０，

显然当x＝１时，才有

3）方法一：由平移知识易得ｃ２的解析式为：y＝x2

ａ(m，m２)，b（n，n２）

δaob为rtδ

oa２+ob２=ab２

m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋m２－n２）２

化简得：m n

ｓδaob==

m n＝－１

ｓδaob＝

ｓδaob的最小值为１，此时m

直线oa的一次函数解析式为ｙ＝x

方法提炼：①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=

例3：如图，已知抛物线经过点a（﹣1，0）、b（3，0）、c（0，3）三点．

1）求抛物线的解析式．

2）点m是线段bc上的点（不与b，c重合），过m作mn∥y轴交抛物线于n，若点m的横坐标为m，请用m的代数式表示mn的长．

3）在（2）的条件下，连接nb、nc，是否存在m，使△bnc的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

2）设直线bc的解析式为：y=kx+b，则有：

解得；故直线bc的解析式：y=﹣x+3．

已知点m的横坐标为m，则m（m，﹣m+3）、n（m，﹣m2+2m+3）；

故mn=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

3）如图；s△bnc=s△mnc+s△mnb=mn（od+db）=mn×ob，s△bnc=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；

当m=时，△bnc的面积最大，最大值为．

方法提炼：因为△bnc的面积不好直接求，将△bnc的面积分解为△mnc和△mnb的面积和。然后将△bnc的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。

此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。

题型二：二次函数与三角形的综合问题。

例4：如图，已知：直线交x轴于点a，交y轴于点b，抛物线y=ax2+bx+c经过a、b、c（1，0）三点。

1）求抛物线的解析式；

2）若点d的坐标为（-1，0），在直线上有一点p,使δabo与δadp相似，求出点p的坐标；

3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点e，使δade的面积等于四边形apce的面积？如果存在，请求出点e的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）：由题意得，a（3，0），b（0，3）

抛物线经过a、b、c三点，∴把a（3，0），b（0，3），c（1，0）三点分别代入得方程组。

解得：抛物线的解析式为

2）由题意可得：△abo为等腰三角形，如图所示，若△abo∽△ap1d，则。

dp1=ad=4 ,p1

若△abo∽△adp2 ，过点p2作p2 m⊥x轴于m，ad=4,

△abo为等腰三角形， ∴adp2是等腰三角形，由三线合一可得：dm=am=2= p2m，即点m与点c重合 ∴p2（1，2）

3）如图设点e，则

当p1(-1,4)时，s四边形ap1ce=s△acp1+s△ace

点e在x轴下方 ∴

代入得：,即

此方程无解。

当p2（1，2）时，s四边形ap2ce=s三角形acp2+s三角形ace =

点e在x轴下方 ∴ 代入得：

即，∵△4)2-4×5=-4<0

此方程无解。

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点e。

方法提炼：①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。

如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。

例5：如图，点a在x轴上，oa=4，将线段oa绕点o顺时针旋转120°至ob的位置．

1）求点b的坐标；

2）求经过点a．o、b的抛物线的解析式；

3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点p，使得以点p、o、b为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点p的坐标；若不存在，说明理由．

解析：（1）如图，过b点作bc⊥x轴，垂足为c，则∠bco=90°，∠aob=120°，∠boc=60°，又∵oa=ob=4，oc=ob=×4=2，bc=obsin60°=4×=2，点b的坐标为（﹣2，﹣2）；

2）∵抛物线过原点o和点a．b，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将a（4，0），b（﹣2．﹣2）代入，得。

解得，此抛物线的解析式为y=﹣x2+x

3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为d，设点p的坐标为（2，y），若ob=op，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在rt△pod中，∠pdo=90°，sin∠pod==，pod=60°，∠pob=∠pod+∠aob=60°+120°=180°，即p、o、b三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点p的坐标为（2，﹣2）

若ob=pb，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点p的坐标为（2，﹣2），若op=bp，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点p的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点p只有一个，其坐标为（2，﹣2），方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。

题型三：二次函数与四边形的综合问题。

例6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于a．b两点，与y轴交于点c，点d是该抛物线的顶点．

1）求直线ac的解析式及b，d两点的坐标；

2）点p是x轴上一个动点，过p作直线l∥ac交抛物线于点q，试**：随着p点的运动，在抛物线上是否存在点q，使以点a．p、q、c为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点q的坐标；若不存在，请说明理由．

3）请在直线ac上找一点m，使△bdm的周长最小，求出m点的坐标．

解析：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．

点a在点b的左侧，a．b的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．

当x=0时，y=3．

c点的坐标为（0，3）

设直线ac的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则，解得，直线ac的解析式为y=3x+3．

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点d的坐标为（1，4）．

2）抛物线上有三个这样的点q，当点q在q1位置时，q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点q1的坐标为（2，3）；

当点q在点q2位置时，点q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点q2坐标为（1+，﹣3）；

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