随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。导数部分内容就丰富了很多。
如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点，作出函数的示意图，通过直观化解决超越函数的有关问题。另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。
他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件……虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题，但是有许多问题出现的背景的确是以高等函数为背景。高等数学是高等学校中经济类、理工类专业学生必修的重要基础理论课程。
数学主要是研究现实世界中的数量关系与空间形式。在现实世界中，一切事物都在不断地变化着，并遵循量变到质变的规律。凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间的关系以及这些关系的变化，就少不了数学。
同样，一切实在的物皆有形，客观世界中存在着各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世界之繁， 无处不用到数学。了解更多具有高等数学背景的数学问题，无论对于教师还是学生而言，都具有积极的意义。
一、函数的拐点问题。
例1（2007湖南文21）已知函数在区间，内各有一个极值点．（i）略；
ii）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
解析：（ii）思路一：由知在点处的切线的方程是。
即，因为切线在点处过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则。
不是的极值点．
而，且。若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得。
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则。当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故。
点评本题中“在点处穿过函数的图象”实际上是指点a处是函数的拐点。
有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数。在处虽然导函数值为0，但不是极值点，左右两边的单调性相同。从数来看，使导函数所对应方程的偶次重根。
所以本例中可知是重根。
二、函数的凸凹性。
例2.若对所有的都有成立，则实数的取值范围是___
解析：,设则， 由得。注意到f(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+∞外。即。
另解：f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax在区间(0,+∞上恒在y=f(x)图像下方，所以a≤1.
点评：本题注意的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似还是类似即函数的凸凹性。
我们也可以通过再求导，**切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。
三、拉格朗日中值定理。
例3.(南通2008第二次调研考试。19)
已知函数如果是增函数，且存在零点（为的导函数。
1）求a的值； （2）设是函数的图像上两点，的导函数。证明：
解析：（1）略。a=e。
（2）由（1）得。
即。将换成构造函数，定义域为。
则， 即在定义域上单调增，即同理可证。
点评：本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理：若函数是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则(a,b)至少存在一点，使得。
而我们解决这一问题的手段是通过构造函数，利用导数证明单调性，从而求证不等式。我们学过的指数、对数函数，正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理。仿照例3，请尝试证明下面题目。
1、 证明：当02、 已知函数的图像（2，）处的切线与a轴平行。
1） 求m,n的关系式并求f(x)单调递减区间；
2） 证明对于任意实数关于x的方程在恒有实数解。
例4.函数a=0时，曲线的切线斜率范围记为集合a，曲线上不同两点，连线斜取值率范围记为集合b，你认为集合a、b之间有怎样的关系，并证明你的结论。
解析： 有故。
设pq斜率为k，则。
故若有若有得，即k>1..
点评：注意到割线的表示形式，
定义域d，联系拉格朗日定理，易证若。可将本题推广到任意曲线割线斜率的范围组成的集合b是切线范围组成集合a 的子集这一结论。
下面一题就很容易了。
已知函数，求证：若图像上任意不同两点连线的斜率都不大于1，则。
高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。
（1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。高中数学要求：
了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法，对概念的深入理解不作要求。到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活运用，成了夹生饭。
但高等数学要求学生掌握并熟练应用，这是高等数学的一个重要内容，在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题，在教学中应给与足够的重视。
（2）导数的运算：高中新课标教材要求较低：根据导数的定义会求简单函数的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数导数。
重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。
高等数学教学大纲对这部分内容要求：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握初等函数的。
一、二阶导数的求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；了解微分的概念与四则运算。
建议：高中学过的仅仅是该内容的基础，因此需重新学习已学过的内容，为本节后面更深更难的内容打好基础。
（3）导数的应用：高中新教材中仅是借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，并通过实际的背景和具体应用事例引导学生经历由函数增长到函数减少的过程，使学生了解函数的单调性，极值与导数的关系，要求结合函数图像，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。
高等数学对这部分内容的处理是：先介绍三个微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，然后严格证明函数的单调性和曲线的凹凸性，给出函数的极值、最值的严格定义，及函数在一点取得极值的必要条件和充分条件。在此基础上，讨论求最大最小值的应用问题，以及用导数描绘函数图形的方法步骤。
建议：由以上分析比较可知，高中数学所涉及的一元微分学虽然内容差别不大，但内容体系框架有很大差异，高等数学知识更系统，逻辑更严谨。学习要求上，对于导数的几何意义，导数的四则运算法则及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函数极值都是高中数学课程标准中要求的重点，是重点强化训练的知识点。
而在高等数学教学中建议一点而过，教学重点应放在用微分中值定理证明函数单调性的判定定理、函数极值点的第。
一、二充分条件定理以及曲线的凹凸性、拐点等内容上。
以上主要分析比较了高中数学与高等数学的重复知识点。除此之外，二者之间以及高等数学与后继课程之间还存在着知识“断裂带”。
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