第八章习题答案。
8．1 多元函数基本概念。
1．解： 。
2．解： 3．解：（1）。（2）。（3）1。（4）。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。）
5），且从而
6），且，所以原式。
4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。
5．解：⑴的定义域为。
当，时的表达式为初等函数，故连续。
当时， 即在时也连续。故的间断线为。
当时的表达式为初等函数，故连续。
当时，，显然取不同值时得不同极限，即不存在，故在点不连续。
当时连续。当时，因，故，从而，即处处连续。
8．2 偏导数与全微分。
1.解：（1）。
5)当时，
时，。2．证：代入即得。
3.证：同理，而由前次习题4（2）知在不连续。
4.证： 其中＜＜1，＜＜1，由题设当足够小时，，，故即在点连续。
5．解：（1）； 2）；
6．解：（1）取则。
2）取则。8．3 多元函数微分法。
1．解：（1）；
2.解：（1）；
3.证：（1）
2）,同理可得。
故。4.解：恒等式两端微分，即，故。
5．解：（1）
4）时， 故：同理时。故：。
6．解1)在中视而得一恒等式，微分得：
即， （2）
由（1），（2）消去整理得：。
7．证：由隐函数求导法则1）
因（1），（2）式均消去，且同乘以并相加得：
8． 解：
故。8．4 空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。
1． 解：点对应参数，所以切线方程：，法平面方程：。
2． 解：将看成参数。在点切线方程：，法平面方程：。
3． 解：由得。在点处：。于是切线方程：。法平面方程：。
4． 解：及。
5． 解：由上题可知有两点和的切线平行于平面。在点切线方程：。在点切线方程：。
6． 解：切平面方程为，法线方程为：。
7． 解：令。由条件，解得，代入中，，于是在点切平面方程为：。
8． 解：令，而平面的法向量为，由条件得，代入，。于是在点法线方程为。
9． 解：令，设在点的法线与三坐标轴成等角。
在点的法线方向数为：，因法线与三坐标轴正向成等角，故有，又，由两方程解得两组解为及，即为所求。
10． 解：令，。
在曲面上任一点的切平面方程为：
切平面在三坐标轴上的截距分别为，其和为。
8．5 方向导数与梯度。
1． 解：。（1）。
2），。令，得，故于是最大值。
或求梯度，从而。
2． 解：向径， 。
3． 解：（1）；（2）；（3），；4）。
4． 解：，曲线在处的切线斜率为。
故法线斜率为。内法线方向， ，于是。
5． 解：。
6．解： 。
8．6 多元函数的极值。
1． 解：驻点，函数有极大值。
2．解：驻点，函数有极小值。
3．解：令，得驻点，由于极大值一定存在，且驻点唯一，故函数有极大值：。
4．解：设三个正数为：。令，得驻点，由问题的性质及驻点唯一知时，它们的倒数之和最小。
5。解：设直角三角形的二直角边分别为和，则周长，但满足条件：
＜＜，令。可得，但只能取，从而得唯一驻点，由实际问题最大周界存在，且驻点唯一，故即为等腰直角三角形时有最大周界。
6．解：设椭球和长方体在第ⅰ卦限的交点为，则。
令，得驻点，由于最大体积的长方体一定存在，且驻点唯一，故当时长方体体积最大，此时。
7．解：设所求点为，则它到三已知直线的距离分别为，令。得驻点为，此时取极小值，且驻点唯一，从而为最小值，点即为所求。
8.解：交线上的点到原点的距离为，令。
得驻点及，故最长距离，最短距离。
9.解：令故曲面。
上任一点处的切平面方程为：
该平面在三坐标轴上的截距分别为，于是截距之积为，其中。作，得驻点，由问题的性质及驻点唯一知时，曲面的切平面，使其截距之积最大。
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