第十二章习题答案。
12.1 常微分方程的基本概念。
1． （1）是 （2）是 （3）是 （4）是
2． （1）一阶 （2）二阶 （3）三阶 （4）一阶 （5）一阶 （6）三阶
4． （1），由得：c＝2，故。
2），代入初始条件得：，故方程的特解为：。
5．（1）由题意，曲线满足的微分方程为：，初始条件：。
（2）设曲线，则在曲线上任一点处的切线方程：。切线与x轴的交点：，故曲线所满足的微分方程为：，初始条件为：。
12.2 一阶微分方程。
1．（1），变量可分离方程。
（2），齐次方程。
（3），一阶线性方程。
（4），贝努里方程。
（5），齐次方程。
（6），以y为自变量x为未知函数的一阶线性方程。
（7），以为自变量，为未知函数的伯努利方程。
8），变量可分离方程。
2．（1）解：分离变量得，两边积分：。即：
故通解为：。
（2）解：分离变量得。积分得：
即：。（3）解：分离变量得，即：。积分得：
即：。3．（1）解：分离变量得。积分得：。由得，故满足条件的特解为：。
（2）解：分离变量得。积分得：。即：。由得。故特解为：。
（3）解：分离变量得。积分得：，即：。由得：。故特解为：。
4．（1）解：方程可改写为（以y为自变量的一阶线性方程），相应齐次方程解为：。常数变易，令代入原方程得：，。故原方程的通解为：。
（2）解：方程可改写为，这是齐次方程。令，。代入方程得：。即，亦即。积分得：。从而得原方程的通解为：。
（3）解：方程可改写为。这是一阶线性方程，相应齐次方程解为：。常数变易，令代入原方程得：，。故原方程的通解为：。
（4）解：方程可改写为。这是贝努里方程。令，则方程化为：这是一阶线性方程，相应齐次方程解为：。常数变易，令代入原方程得：，。故通解为：。
5．（1）解：方程可改写为。这是一阶线性方程，相应齐次方程解为：。常数变易，令代入原方程得： ，故通解为：。代入初始条件得：，从面满足初始条件的特解为：。
（2）解：这是齐次方程，可改写为。令，则：
即。两边积分：
解得：。故：。代入初始条件得：，所以方程特解为：。
3）解：方程可改写为。这是贝努里方程，，令，原。
方程化为：，相应齐次方程解为：。常数变易，令，代入相应线性方程：，，得原方程通解为：，代入初始条件求得，故方程满足初始条件的特解为：。
6．（1）因，所以是全微分方程。取。则。
。所以原方程的通解为： 。
（2）因，所以是全微分方程。取。则。
。所以原方程的通解为： 。
（3）因，所以是全微分方程。取。则。
。所以原方程的通解为： 。
7．（1）解：方程可改写为。令得：。方程化为：，即：。分离变量得：。积分得：
。所以通解为：。
2）解：令，。代入方程得：。即。
积分得：。即：。
3）解：令。代和方程得：。分离变量得：。
积分得：。故。
（4）令，代入方程得：。分离变量：。
积分得：，即：。由得：。
所以方程之通解为：。
8．解：根据题意，任意时刻物体的温度满足方程：其中为。
比例系数。负号表示物体在空气中冷却。初始条件为：。即： 分离变量：。积分得：。由初始条件： 得：。故：。
9．解：设曲线方程为，则在任一点的切线方程为：；即。
由题意：。即。这是齐次方程。
初始条件为：。令。方程化为：。
积分得：。代入初始条件得。故所求曲线方程为：。
10．解：设所求曲线。由题意，曲边梯形面积为：。
梯形oape面积＝。故：。两边求导：
即：。初始条件：。求解方程，由一阶线性方程解的公式：。
代入初始条件得：所以曲线方程为：。
12.3 可降阶的**微分方程。
（2）解：方程不显含未知函数，令，则。代入方程得：。即：。这是一阶线性非齐次方程。解出其通解为：，故原方程的通解为：。
（3）解：方程不显含，令，则。代入方程得：。
这是一个齐次方程。令，即，则。代入方程得：。
分离变量得：。两边积分得：。即：
＝。即。故。
即：。积分得： 即为所求。
（4）解：方程不显含自变量，令：则。
代入方程得：。即：。分离变量得：。
两边积分得：；即：。所以，即：。
两边积分得： 即为所求。（又：
也是方程的解）。
2．（1）解：令则。代入方程得：。分离变量得。
两边积分得：。即。积分得方程通解是：。由初始条件：得。故所求特解为：。
（2）解法一：令则。代入方程得：。当时分离变量得。所以，即。所以。故方程的通解为：。由初始条件得，故所求特解为：。
解法二：由方程得，所以。即。积分得：为方程的通解。由初始条件可得所求特解为：。
3．解：由题意可知即是要求方程满足初始条件：的特解。将方程积分二次得期通解是：。由得。由得：。故即为所求。
4．解：设所求的曲线为。则此曲线在点处的法线方程是： 。它与轴交点是。故法线段pq长度是：
＝。根据题意得微分方程：。即。
。且当时，，。令则。代入方程得：，即：。积分得：。又因为时，，，即时。故有，即：。即。积分上式，由得。即所求曲线为：＝，亦即：。
5． （1）线性无关 （2）线性相关 （3）线性相关 （4）线性无关
（5）线性无关 （6）线性相关
6．验证：将与分别代入方程即得，略。又因常数，所以线性无关。方程的通解为：。
7．解：因都是方程的特解。由二阶非齐线性方程通解的结构之定理4（12章4．2之定理4）可知：和皆为相应齐次方程的特解。又因：常数，线性无关。故通解为。
。（12章4．1之定理2及4．2之定理3）。整理即得：
12.4 高阶线性方程。
1．（1）解：特征方程为：。特征根：。所以通解为：
（2）解：特征方程为：。特征根：。故通解为：。
（3）解：特征方程为：。特征根：。所以通解为：
（4）解：特征方程为：。特征根：。所以通解为：
（5）解：特征方程为：。特征根：。所以通解为：
（6）解：特征方程为：，即：的特征根：，。所以通解为：
2．（1）解：特征方程为：。特征根：。所以通解为：
。由初始条件：解得：，，所以满足条件的特解为：。
（2）解：特征方程为：。特征根：。所以通解为：
。由初始条件得：，故特解：。
（3）解：特征方程为：。特征根：。所以通解为：
由初始条件得：，故方程之特解。
3．解特征方程为：。特征根：。所以通解为：
由题意其初始条件为：。由通解和得。
。所以积分曲线为：。
4．解：设所求运动规律为：，按题意可得：
即其初始条件是：。二阶常系数齐次线性微分方程的通解为：。由初始条件可知：
，解得：，，因此所求运动规律为： 。
5．解：由题意知对应的特征方程有二重根 ，故方程的通解是。由初始得：故。故满足初始条件的特解为。
6．解：由题意知求满足下列条件的和：，；且：。方程的通解是：
。而的通解：。由题设知代入得，。所以：即为所求。
对于由得。于是。
则，又由于，所以，即得故得＝。
12.5 常系数线性方程。
1．（1）解：对应齐次方程的特征方程为：，特征根为：。非齐次方程自由项，不是特征根，故。
（2）解：对应齐次方程的特征根为：，非齐次方程自由项，是特征根。故。
（3）解：对应齐次方程的特征根为：，非齐次方程自由项，是单特征根，故。
（4）解：对应齐次方程的特征根为：，非齐次方程自由项。是特征根。故。
（5）解：对应齐次方程的特征根为：，非齐次方程自由项，是二重特征根。故。
（6）解：对应齐次方程的特征根为：，方程自由项为，不是特征根，故。
（7）解：对应齐次方程的特征根为：，非齐次方程自由项，其中，。对于，。对于，
。故。（8）解：对应齐次方程的特征根为：，非齐次方程自由项。
。其中， 对于，。对于，。故：
2．（1）解：对应齐次方程的特征根为：，，故对应齐次方程的通解为：。自由项，是特征根，所以。代入方程解得，得。所以通解为：。
（2）解：对应齐次方程的特征根为：，故对应齐次方程通解为：
自由项，不是特征根，故。代入方程解得，所以。所以方程的通解为：。
（3）解：对应齐次方程的特征根为：，对应齐次方程通解为：自由项。
当时，不是特征根，，代原方程解得故。
当时，是二重特征根，代入原方程：故。
故原方程通解为： 。
3．（1）解：对应齐次方程的特征根为：，，故对应齐次方程的通解为：。
自由项，是特征根，所以。代入方程解得：所以。
故方程的通解为：。由初始条件得：，得，。
故方程满足初始条件的特解为：。
（2）解：对应齐次方程的特征根为：，，故对应齐次方程的通解为：。
自由项，不是特征根。所以方程特解为：。代入方程解得，，。
所以，故方程的通解为：。由初始条件得：，得，。
故方程满足初始条件的特解为：。
（3）解：对应齐次方程的特征根为：，对应齐次方程的通解为：
自由项，是特征根。所以方程特解为：。代入方程解得，所以。
故通解：。由初始条件可得：，。
故满足初始条件的特解为：。
4．解：。求导得：
再求导得：。即。初始条件，的通解为。
。代入初始条件解得：，。故。
5．解： =故又因，得：。所以即为所求。
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