第十一章习题答案。
1． 1常数项级数的概念及基本性质。
1．解：（1） （2）
2． 解：（1）（2）（3）（4）
3． 解：（1），∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件）。
2）原级数可写为。∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。
3）原级数为公比等于的几何级数，∵，原级数发散。
4）原级数为发散的调和级数去掉前三项，∴原级数发散。
5）原级数为公比等于的几何级数，，∴原级数收敛。
6）∵级数收敛（公比的几何级数），级数收敛（公比的几何级数），∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。
4． 解：（1），∴此级数收敛。
2），∴此级数收敛。
∴此级数收敛。
1． 2正项级数及其判敛法。
1．解：（1），而级数发散，∴原级数发散。
2），而级数收敛（的p级数），∴原级数收敛。
3），而级数发散（调和级数去掉第一项），∴原级数发散。
4），，而级数收敛（公比为的几何级数），∴原级数收敛。
5），而级数收敛，∴原级数收敛。
6），而级数发散（调和级数去掉前四项），∴原级数发散。
7），而级数收敛，∴原级数收敛。
8），而级数发散，∴原级数发散。
2．解：（1），∴原级数收敛。
2），∴原级数收敛。
∴原级数收敛。
4），∴原级数收敛。
5），∴原级数收敛。
6），∴原级数发散。
3．解：（1），∴原级数收敛。
2），∴原级数收敛。
4．解：（1），∴原级数收敛。
2），而发散，∴原级数发散。
3），∴原级数发散。
4）， 原级数发散。
5)，收敛，收敛，∴原级数收敛。
6），∴原级数发散。
7），而收敛，∴原级数收敛。
8），∴原级数收敛。
∴原级数收敛。
1． 3任意项级数。
1． 证明：，据莱布尼兹定理，所给交错级数收敛，且若取，则误差满足。
2． 证明：设，则（当时），于是。
在上单调减。故，即，又。
据莱布尼兹定理，所给交错级数收敛。
3． 解：（1）该级数为交错级数。，又。
据莱布尼兹定理该级数收敛。再考察正项级数发散，∴原级数为条件收敛。
2）先考察正项级数。，而。
收敛，∴级数收敛。∴原级数收敛且为绝对收敛。
3），且，∴由莱布尼兹定理知原级数收敛。又，且，而级数发散，∴
发散，∴原级数为条件收敛。
4）在中，收敛。∴原级数收敛且为绝对收敛。
5）先考察正项级数。，而级数为收敛的几何级数，∴该正项级数收敛。∴原级数收敛且为绝对收敛。
6）该级数为交错级数。，即，又，∴由莱布尼兹定理知收敛。再考察正项级数，而发散，∴级数发散。∴原级数为条件收敛。
3．1函数项级数的一般概念。
1．解：（1），故当，即当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；而当时，由于一般项不趋于零，故级数发散。∴级数的收敛域为。
2），故当时，即或。
时，级数收敛；当时发散，时。
发散。∴级数的收敛域为或。
3．2幂级数及其收敛区间。
1．解：（1）。当时，原级数为发散；当时，原级数为也发散，因此收敛区间为。
2），即级数在处收敛。
3）。当时，
发散；当时，是交错级数，满足莱布尼兹条件，∴此级数收敛，故收敛区间为。
4），故原级数的收敛区间为。
5）。由，得到，当时，原级数为发散；当时，原级数为也发散。因此收敛区间为。
6），∴当时，即时级数收敛；当时级数发散，。当时，原级数为收敛；当时，原级数为也收敛。故收敛区间为。
7），∴当，即时，级数收敛；当时，级数发散。当时，原级数为发散；当时，原级数为也发散。故收敛区间为。
2． 解；令，则在处发散，而在处收敛。因而它在处收敛，而在处发散，所以原来的幂级数在处收敛，在处发散。
3． 解：令，则，在时收敛，在时发散，从而，即时收敛，时发散。因此的收敛半径为。
3．3幂级数的运算。
1． 解：（1）易知此级数的收敛区间为。，2）易知此级数的收敛区间为。设，则。
=。于是，即。
3）易知此级数的收敛区间为。设，则。
2． 解：，∴原级数收敛。考察幂级数，则。
。于是。在收敛区间内，。
3． 4函数展开成幂级数。
1．解：（1）。
由，得。5），6）。由，得。
故，。2．解：。收敛区间：由，得。
3．解： =由，得。
3．5函数的幂级数展开式的一些应用。
1．解：，，而。
由此得，，
于是，。2． 解：，在式中将换成，有。
在式中令，得，即。
3．解：（1）由于，取前项作为的近似值，其误差： =取，则，因此。
2），而。故。
现在要求，则有。取，得。
4．解：，，
误差： 5．解： =
由于，因此。
4．2函数展开成傅立叶级数。
1．解：。2．解：（1）；；2）=；
（，为整数）。
3．解：（1）作周期延拓，在点处不连续，而。
2）作周期延拓，在点处不连续，而。
3）将周期延拓，延拓后的函数周期为。在间断点处，傅立叶级数收敛于；在区间端点处，傅立叶级数收敛于。
因为偶函数，故， =1；，
4． 解：对进行奇延拓，所得的奇函数在上连续，且，故对应的正弦级数在上收敛于。
故：（）5．解：对进行偶延拓，所得的偶函数在上连续，且，故对应的余弦级数在上收敛于。；
6．解：对进行奇延拓，所得的奇函数在点处有第一类间断点，但。
故对应的正弦级数在上收敛于。
故： 7．解：对进行偶延拓，所得的偶函数在上仅在处有第一类间断点，故对应的余弦级数在上收敛于。；
故：（，但）
8．解：对进行奇延拓，所得的奇函数在上连续，且，故对应的正弦级数在上收敛于。
故：（）9．解：所给函数在上连续，并在外作为拓广的周期函数时，它在点，处不连续，因此对应的傅立叶级数在上收敛于。=
故：（）10．解：是偶函数，故它的傅立叶级数是余弦级数，且在区间上收敛于。
故：（）11．解：对进行奇延拓，所得的奇函数在上连续，且，故对应的正弦级数在区间上收敛于。
）。故：（）
12．解：所给函数在外作为拓广的周期函数时，在点处不连续，故对应的傅立叶级数在区间上收敛于。
故：（，但）。
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