高起专）第一章函数作业（练习一）参***。
一、填空题。
1．函数的定义域是 。
解：对函数的第一项，要求且，即且；对函数的第二项，要求，即。取公共部分，得函数定义域为。
2.函数的定义域为。
解：要使有意义，必须满足且，即成立，解不等式方程组，得出，故得出函数的定义域为。
3．已知，则的定义域为。
解。 令， 则，即。故的定义域为。
4．函数的定义域是 .
解。 。5．若函数，则。
解。 二、单项选择题。
1. 若函数的定义域是[0，1]，则的定义域是( )
a. b. c. d.
解： c 2. 函数的值域是。
a. b. c. d.
解： d 3．设函数的定义域是全体实数，则函数是（ ）
a.单调减函数b.有界函数；
c.偶函数d.周期函数。
解：a, b, d三个选项都不一定满足。
设，则对任意有。
即是偶函数，故选项c正确。
4．函数（ ）
a.是奇函数b. 是偶函数；
c.既奇函数又是偶函数； d.是非奇非偶函数。
解：利用奇偶函数的定义进行验证。
所以b正确。
5．若函数，则（ ）
a.； b.； c.； d.。
解：因为，所以。
则，故选项b正确。
6．设，则=（
a． x b．x + 1 c．x + 2 d．x + 3
解由于，得＝
将代入，得=
正确答案：d
7． 下列函数中，（ 不是基本初等函数．
a． b． c． d．
解因为是由，复合组成的，所以它不是基本初等函数．
正确答案：b
8．设函数，则。
ab． cd． =
解因为，故。
且 ， 所以。
正确答案：c
9. 若函数，则。
a. b. c. d.
解： c 10. 下列函数中（ ）是偶函数。
a. b. c. d.
解： b 三、解答题。
1．设，求：(1)的定义域； (2)，，解 (1) 分段函数的定义域是各区间段之和，故的定义域为。
(2) 时， ，
时， 2. 设， 求复合函数。解：,
解： 为偶函数。
解：,为奇函数。
解：,为奇函数。
4．已知，，求的定义域。
解。, 故的定义域为。
第二章极限与连续作业（练习二）参***。
一、填空题。
答案：1正确解法：
2.已知，则。
由所给极限存在知， ,得， 又由， 知。
3.已知，则。
即， 4．函数的间断点是 。
解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。
因为。所以函数在处是间断的，又在和都是连续的，故函数的间断点是。
5．极限。解因为当时，是无穷小量，是有界变量．
故当时，仍然是无穷小量． 所以0．
6．当k 时，在处仅仅是左连续．
解因为函数是左连续的，即。
若 即当1时，在不仅是左连续，而且是连续的．
所以，只有当时，在仅仅是左连续的．
7．要使在处连续，应该补充定义。
解：2．，补充定义。
二、单项选择题。
1．已知，其中，是常数，则（ ）
ab) cd)
解。, 答案：c
2．下列函数在指定的变化过程中，（ 是无穷小量。
ab.；c. ；d.
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以。
而a, c, d三个选项中的极限都不为0，故选项b正确。
3．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）
ab);cd)
解。, 故不选(a). 取， 则， 故不选(b). 取， 则， 故不选(d). 答案：c
4.的（ ）
a）可去间断点b）跳跃间断点。
c）无穷间断点d）振荡间断点。
解： 5.若，为无穷间断点，为可去间断点，则（ ）
a）1 （b）0 （c）e （d）e-1
解：由于为无穷间断点， 所以， 故。 若， 则也是无穷间断点。 由为可去间断点得。故选(c).
三、计算应用题。
⒈计算下列极限：
解：（1）
（3）解对分子进行有理化，即分子、分母同乘，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算．即。
（4）解将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即。
（5）解先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即。
2.设函数。
问（1）为何值时，在处有极限存在？
2）为何值时，在处连续？
解：（1）要在处有极限存在，即要成立。
因为。所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。
2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是。
于是有，即时函数在处连续。
3．已知，试确定和的值。
解。, 即。
故。4．求。
解。, 5．设，求的间断点，并说明间断点的所属类型。
解。在内连续， ,因此，是的第二类无穷间断点；
因此是的第一类跳跃间断点。
6．讨论的连续性。
解。, 因此在内连续， 又，在上连续。
第三章微分学基本理论作业（练习三）参***。
一、填空题。
1.设，则。
解：因为，，则。
解。 原式。
3.已知，则。
解，，即。4. 设， 则。
5．，则。答案：或。
6．函数的定义域为。
解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。
的定义域为：且}
7． 已知，则。
解令，，则，
8．设，则。
9.由方程确定的函数z=z（x,y）,在点（1，0，-1）处的全微分dz
解 10． 设则。
解 二、选择题。
1．下列命题正确的是（ d ）
a);(b);
c) d)表示曲线在点处的切线与轴平行。
解时， ，故不选（a）
时，，，但。
不存在，故不选（b）；而，故不选（c）。
2．设，则在处。
a．连续且可导b．连续但不可导。
c．不连续但可导d．既不连续又不可导。
解：（b），
因此在处连续。
此极限不存在。
从而不存在，故不存在。
3．曲线在点（1，0）处的切线是（ ）
ab．cd．
解由导数的定义和它的几何意义可知，是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是。
即。正确答案：a
4．已知，则=（
a. b. c. d. 6
解直接利用导数的公式计算：
正确答案：b
5．若，则（ ）
a． b． c． d．
答案：d 先求出，再求其导数。
6．的定义域为（ ）
a．b．c． d．
解 z的定义域为}个，选d。
7.下列极限存在的是（ ）
a） （b） （c） （d）
解 a. 当p沿时，，当p沿直线时，，故。
不存在； b.，不存在； c. 如判断题中1 题可知不存在； d. 因为，所以，选d
8．在(x0,y0)处，均存在是在处连续的（ ）条件。
a）充分 （b）必要 （c） 充分必要 （d）既不充分也不必要。
解因为存在，在（）处不一定连续，所以非充分条件。
例如：，由偏导数的定义知道。
同理可得=0，但不存在，所以在（0，0）不连续，若在（）处连续，在（）也不一定存在，所以非必要。
例如 f(x,y)=|x|+|y|。它在点(0,0)点处连续，但，不存在。选d。
9.设可微，且满足则g(x,y)=（
a) (b) (c) (d) 解 选b
10.肯定不是某个二元函数的全微分的为（ ）
a） (b) （c） （d）
解 a（xy），c（），d（）都是某个二元函数的全微方，只有b不是，选b。
三、求解下列各题。
1．求下列函数的导数：
解：解： 解：
解 2．求曲线在点处的切线方程。
解：，，于是，曲线在点处的切线方程为：
即。3．下列各方程中是的隐函数的导数。
1），求。解：方程两边对自变量求导，视为中间变量，即。
整理得。
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