第一章初等函数及其图形。
练习1.1 初等函数及其图形。
一。 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数：
解： 为偶函数。
解：,为奇函数。
解：,为奇函数。
二。 设，求。
解：, 三。设，试求复合函数的定义域和值域。解：,
四。设， 求复合函数。
解：, 第二章极限与连续。
2.1 数列极限。
一。 填空：
1.设，对于任意的正数，当大于正整数时， ,所以；当大于正整数19.999时，。
2. 设， 对于任意的正数， 当大于正整数时， ,所以。
3. 对于任意的正整数， 存在正整数，当时， ,所以。
二。 用定义证明。
证。, 要使， 即， 只要， 即。 取正整数，则当时， 就有， 即。
三。 对于数列， 若(),证明： (
证只要， 就有； 又。
因(),只要， 就有。 取。
只要， 就有， 因此有().
2.2 函数极限。
一。 填空。
1. 极限的定义是： 对于任意的，存在，当时，就有。
2. 极限的定义是： 对于任意的， 存在， 当时，就有。
3. 极限的定义是：对于任意》0, 存在， 当时， 就有。
4.对于任意的正数，存在正数=,当时，因此。
二。 求在处的左、右极限， 并说明在处的极限是否存在。
解：, 由于， 所以在处的极限不存在。
三。 用定义证明：。
证： 不妨设， 即， 从而， ,要使， 只要。 于是取， 则当时， 就有， 因此。
四。 用极限定义证明：函数当时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等。
证： 必要性。 若， ,当时， 就有。 因而， 当时， 有， 所以； 同时当时， 有， 所以。
充分性。 若，.,当时， 就有， 也， 当时， 有。 取，则当时， 就有。 所以。
2.3 无穷大与无穷小。
一。 求下列量的等价无穷小量():
解。的等价无穷小量为。
解。的等价无穷小量为。
解。的等价无穷小量为。
二。 求下列量的等价无穷大量：
解。的等价无穷大量为。
解。的等价无穷大量为。
三。 当时，下面等式成立吗？
解。,解。
解。不一定趋于零，不一定成立(当时)
2.3 极限的运算法则。
一。 判断题(正确的结论打“√”错误的结论打“×”
1. 若存在，不存在，则不存在。
反证。 若存在， 则存在， 矛盾。
2. 若，均不存在，则不存在。
例如：, 均不存在， 但。
3., 则。 (
4. 若， 又与均存在，则》。
例如。时， ,但。
二。 填空：
1. 已知，则。
即， 2. 已知，则。
由所给极限存在知， ,得， 又由， 知。
三。 计算题：
解：解： 解。
解。解。 2.4 两个重要极限。
一。 求下列极限：
解。 原式=
2. (为整数)；
解。 原式。
3. (为奇数)；
解。 原式。
解。 原式 =
二。 求下列极限：
解。 原式=
解。 原式=
2.6 函数的连续性。
一。 研究下列函数的连续性，并指出间断点类型：
解。,为唯一的第一类(跳跃)间断点。
解。， 整数集)，，为第一类 (跳跃) 间断点；
解。 ,为其间断点，为第一类可去间断点；为第二类间断点。
解。为第二类本性间断点。
二。 适当选取， 使函数连续。
解。,当时，即为连续函数。
三。 证明方程有且只有一个实根。
证。 令， 由零点定理， 至少存在一点使得， 其唯一性， 易由的严格单调性可得。
四。 求下列极限：
解。解。
解。 第三章导数与微分。
3.1 导数的概念。
一． 选择题。
1． 下列命题正确的是（ d ）
a) 初等函数在其定义区间内可导；
b) ，其中为常数；
c) 若曲线在点处有切线，则存在；
d) 可导的偶函数的导数是奇函数。
2． 下列命题不正确的是（ b ）
a) 若在处不连续，则在处必不可导；
b) 若在处的左导与右导均存在，则存在；
c) 若在处可导，则在处必连续但不一定可导；
d) 若存在，则极限。
二． 填空题。
1． 设，则
2． 设，则， 。
3． 设某物体的运动规律为，则该物体在秒到秒的时间段内的平均速度，及秒时瞬时速度。
三． 设函数在处可导，求下列极限值。
解。 原式。
解。 原式。
四．设 ，求。
解。 当时， ,当时， ,当时， ,显然，不存在。 则得，
五．设抛物线与相切，试求。
1．a值及切点坐标。
2．过该点的切线方程和法线方程。
解。 1. 由题意知， 即， 求得及， 故得， 切点。
2. 斜率， 所求切线方程为，即。
法线方程为，即。
3.2 求导法则。
一。 填空题。
1．设，则，若，则。
2．设，则，
3．设，则。
4． 设，则
二．计算下列各函数的导数。
解：解。 解。
解。 三．设可导，，求。
解。 四。 设求。
解。 令， 于是，.
, 则得。
3.3高阶导数。
一。 填空题。
1. 设， 则。
2. 设， 则。
3. 设， 则。
4. 已知具有任意阶导数， 且， 则当(为正整数)时，
二。 计算下列各函数的阶导数。
解，2.;解
由此推得 三。设三阶可导， 且， 求。
解 3.4微分与微分技术。
一。 填空题。
1．设在处可导，且，则 0 。
2．设在处可导，且，则当时，该函数在处微分是与的同阶无穷小。
二．设下列各方程确定函数， 求。
解由，得，2．
解，即。得，则得。
3． 在处。
解，，，又。
则。三． 设是由方程确定，其中是可微函数试求：
解由，得。四．设曲线方程为求曲线在处的切线方程。
解由得，,。当时，，，则过点的切线方程为，即。
第四章中值定理与导数的应用。
练习4.1 微分中值。
一、 试证明：对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证：设 显然，f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，由lagrange定理得至少有一点，使。
即 即求得的ξ位于区间的正中间。
二、 已知函数，不求的导数，讨论方程的实根并指出它们所在的区间。
解：因为 f (1 )=f (2 ) f (3 ) f (4 ) 0 ,函数f (x )在区间 (1, 2) ,2, 3) ,3, 4) 上满足rolle定理条件，由rolle定理得至少有一点使 ，又为一元三次函数，因而方程最多只有三个实根，所以，方程有三个实根分别属于(1, 2), 2, 3), 3, 4).
三、 证明下列不等式：
2． 当x>1时，e x > e x .
四、 证明：若函数在(-,内满足不等式，且，则。
五、 证明方程 x 3 －x 2 ＋x＋1 = 0 只有一个实根。
练习4.2 l’hospital法则。
一、 判断题（正确的打“√”错误的打“×”
2． 极限不存在。
3．设在x0处二阶可导，则。
二、 计算题。
三、 已知求a ,b .
练习4.3 函数的单调性。
一、 填空。
函数的单调递减区间为 (0, 1) ，单调递增区间为 (-0)和 (1
二、 证明不等式：当时，
练习4.4 函数的极值与最值。
一、 填空。
1．当x = 3/4 时，函数取极大值y = 5/4 .
2．函数满足 b2 -3ac <0 条件时，这函数无极值。
3．函数在[ 0，3 ]上的最大值为 13/12 ，最小值为 1 .
二、 已知函数在x = 1/2 处有极值，求a 的值。
三、 a 满足什么条件时，方程有实根。(a为实数)
四、 现做一个体积为1的开口容器，其上部为柱体，下底部为半球，且柱面单位面积造价是底部单位面积造价的3/4，问底部半径与柱面高之间比例为多少时可使造价最低？
第五章不定积分。
练习5.1 不定积分的概念与性质。
一、选择题：
1.若的导数是，则的一个原函数为（ ）
a）1b）c）1d）
解：因为，若设是的原函数， 则须， 故应选（b）.
2.设可导，则（ ）
a） （b）
c） （d）
解：由不定积分的性质可知，应选（b）.
二、填空题：
解：原式。2.设，则。
解：令，则，从而。
解：原式。
解：原式。三、已知在上连续，在内，且求。
解：因为，又所以，故。
四、计算题：
解：原式。
解：原式。
解：原式。练习5.2 基本积分法(一)
一、填空题：
1. 设，则。
解：因为，所以。
2.设，则。解：.
解：.解：原式。
解：令，则。
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