第九章多元函数微分学及其应用。
第一节多元函数的基本概念。
1、求下列各函数的定义域，并作出其草图。
解： 定义域，图略．
解： 由得：
定义域，图略．
解： 由得：
定义域，图略．
．设，求．解：令，得：
代入得。故．
3、求下列极限：
解： (直接代入)原式= ．
解：原式=．
解：原式=．
4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值．
解：当时，令，则。
其值与有关，故极限不存在．
解：当时，有。
故．5、设，求和．试问：极限是否存在？为什么？
解：， 极限不存在，因为当时，令，其值与有关．
6、研究函数的连续性（在哪些点连续，哪些点不连续）．
解：，故函数在处不连续，其它处均连续．
第二节偏导数。
．填空题：1) 在处均存在是在该点连续的既非充分也非必要条件；
2)曲线在点处的切线与轴正向所成的角是；
3)设，则， ；
4)设，则， ，
2．求下列函数的一阶偏导数：
解。解： ，
解： ，3．求下列函数的二阶偏导数：
解： ，
解： ，4．设函数判断其在点处的连续性和偏导数是否存在．
解： 1）故函数在点处连续；
极限不存在，故此点处关于的偏导数不存在．
第三节全微分。
．填空选择题：
1)二元函数在点处可微的充分必要条件是，其中，为表达式，．
2) 在点处存在的充分条件为．
的全部二阶偏导数均存在； ．连续；
的全部一阶偏导数均连续； ．连续且均存在．
2．求函数当，，，时的全增量和全微分．
解： 3．求下列函数的全微分：
解： ，
解： ，
解： ，4．讨论函数在点处的可导性与可微性．
解：, 故函数在点处的偏导数存在；
但，其中。易知当沿直线趋于时此极限不存在。故函数在点处不可微．
第四节多元复合函数的求导法则。
．求下列函数的偏导数或全导数：
解： =
2)，其中可导．
解： 3)，，其中可导．
解： =4)设，求．解：
解： =2．求下列函数的偏导数：
1)，其中可导，求，．
解： 2)，其中可导，求，，．
解： ，3) 设，其中二阶可导，求，．
解： ，4) 设具有二阶连续偏导数，求，，．
解： ，3．已知函数，可导，验证满足。
证明：，，故．
第五节隐函数的求导公式。
1．设方程确定了隐函数，求．
解：（公式法）令，
则， 提示：另还可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。
2．设方程确定了隐函数，求，，．
解：（公式法）令，
则， =3．设方程确定了隐函数，求，．解：令，
则，4．设隐函数由方程所确定，证明．
证明： ,=故．
5．求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：
1)设，求，．
解： 方程组两边直接对自变量求偏导，得：
故， ．2)设，求，，，
解： 方程组两边直接对自变量求偏导，得：
故=， 同理可得到： =
6．设而是由所确定的的函数，其中均有一阶连续的偏导数，求．
解：联立方程组两边直接对自变量求偏导，得：
故。第六节多元函数微分学的几何应用。
1．求曲线在对应的点处的切线方程和法平面方程．
解：切向量。
曲线在对应的点处的切线方程为：
法平面方程为：，即．
2．求曲线在点处的切线方程及法平面方程．
解：用隐函数组求导的方法得到，
点处的切向量。
曲线在对应点处的切线方程为：
法平面方程为：．
3．求曲面在点处的切平面方程和法线方程．
解： 法向量。
故所求切平面方程为即．
法线方程为：
4．求椭球面上某点处的切平面的方程，使平面过已知直线．
解：设点的坐标为，则切平面的法向量，直线过点，且方向向量为，故有，解得或。
所求切平面方程为或．
注：上题中在直线上任取两点的坐标代入平面的方程，同样可求得点，过程略．
5．设是可微函数，证明：曲面的切平面平行于某定直线．
证明：曲面在任意点处切平面的法向量，设向量，有，即，就是过点的某直线的方向向量（常向量），该直线就是所求平行于切平面的定直线．
第七节方向导数与梯度。
1．填空题：
1) 在点处均存在是在该点的方向导数存在的既不充分也不必要条件．
2) 函数在点沿方向的方向导数最大，其最大值是．
2．求函数在点处沿着抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数．
解： ，3．求函数在点处沿着锥面的外法线方向的方向导数．
解： ，锥面的外法线方向为，其方向余弦为，，
4．设，求，并求函数沿该梯度方向的方向导数．
解：，，第八节多元函数的极值及其求法。
1．填空题：
1)二元函数的极值只可能在驻点和__不可导点__处取得．
2)若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有___00
2．求函数的极值．
解：由得驻点，，，
对四个驻点分别计算，易知，，处都有，故都不是极值点，而处，所以当时，函数在此点取得极小值，当时，函数在此点取得极大值．
3．求由确定的函数的极值．
解：令由隐函数求导得得驻点， 代入原方程得：
解得，由方程知此曲面为椭球面，故。
函数的极大值为，极小值为．
4．求函数在闭区域上的最大值和最小值．
解： (1)求内的驻点：
由得，无零点，故内无驻点，函数的最值只能在边界上达到；
2) 求函数在边界上的最值。
当时，，，同理可讨论另外三条边界，得。
函数的最大值在处达到，最小值在，，三点处达到．
5．经过第一卦限中的点作平面与三坐标轴相交，如何作法使该平面与坐标面围成的四面体体积最小．
解：设该平面方程为，则有，目标函数：四面体体积，作拉格朗日函数。
由得驻点。由于驻点唯一且此问题定有最小值存在，故知作该平面与三坐标轴的截距分别为时，满足题意。
6．求函数在条件，下的极值．
解： 作拉格朗日函数。
由得驻点，，
两曲面，的交线为一个圆心在原点，半径为的大圆，易得函数在三点处有极小值，在三点处有极大值．
第八章综合练习。
1．用不等式和图形表示下列二元函数的定义域：
解： 定义域：，图略．
解： 定义域：，图略．
2．求下列函数的极限：
解： 原式=（直接代入）
解： 原式=０（无穷小量乘有界量）
3．求下列函数的偏导数：
1)，求．解： ２
2)，求．解：，
4．求下列函数的全微分：
解：，解：．5．已知，而是方程确定的的函数，求．
解： 方程组确定隐函数组，将它两边直接对自变量求偏导，得：
故．6．设由方程确定，求和．
解： =7．设具有二阶连续的偏导数，且满足，证明：也满足．
证明：，8．在螺旋线上求一点，使曲线在该点的切线平行于平面．
解： 切向量。
平面的法向量为法向量。
由得， 故所求点为或．
9．求函数在点处沿向量方向的方向导数．
解：方向余弦为，，
10．设，试问：参数满足什么条件时有唯一极大值？有唯一极小值？
解：, 当函数有唯一驻点，又在此点处有。
, 故当且时函数有唯一极大值，当且时函数有唯一极大值．
11．求曲面的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大．
解： 曲面上任意点处的法向量。
切平面方程为，即。
所以截距分别为。
目标函数设为，作拉格朗日函数。
由得唯一驻点。
故所求切平面的方程是．
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