高等数学作业答案（09-10-1）
第一章函数、极限与连续。
1.1映射与函数。
1．(1)f（x）与h（x）相同；
g（x）与f（x），h（x）不同．(2)f（x）与（x）相同；
x）与f（x），（x）不同．2
2k1)π,2kπ][2kπ,(2k1)π]kn；(2)a
1时a，1a；a12
2为空集．3．(1)x
1arctany；y
1arctanx2
2)xlny1；ylnxy
1x4．[2kπ,(2k1)π]kz
6．(1)奇，(2)奇．7．x0或(,0]8．1
1.2数列的极限。
1．（1）xn
n3；（2）xnn
0；(3)极限不存在；(4)极限不存在．
1.3函数的极限。
1．(1)例：f(x)1
x0g(x)0
x0例：f(x)1x0
x0g(x)1x0
x02．(1)极限不存在；(2)
arctanxx
arctanxx
x时，arctanx的极限不存在；3)1ex
x1，1exxx
时，1ex的极限不存在．
3．limx1，x0
x当x0时，x左、右极限不一样，极限不。x存在．
6．不存在。
1.4无穷小与无穷大。
1．（1）正确．
2）错．例：当x0时，x与x2
均是无穷小，但商为无穷大．
3）错．例：当x时，x和x1均是无穷大，但其和为有界函数．（4）正确．2．无界，非无穷大．3．
1.5极限运算法则。
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4、不存在；5、不存在；
f（x）x2
f（x）.x1
4、f（00）1，f（00）1f（0）,第一类跳跃．x0，5、a0，be．1x1
7、a1，b1
8不一定．如：当x时，x为无穷大，1.9连续函数的运算与初等函数的连续性。
为有界函数，其乘积为有界函数，不是无穷大．1、连续区间：(,3),(3,(2,)2),1.6极限存在准则两个重要极限。
1；(2)a；(3)1；(4)x；(5) 1；
e6)1；(7)e-2
1.7无穷小的比较。
1、(1)arctanx~x；
2)ae时等价；ae时同阶；(3)同阶；(4)同阶．2、(1)n6；(2)n1；(3)m
n2．1.8函数的连续性与间断点。
1、连续。2、(1)x2，第一类可去，补充定义-4；x3，第二类无穷．(2)x0，xk
第一类可去，分别补充定义1,0；
xk（k0）为第二类无穷；（3）x0第二类无穷．
2、a4，b3．
ln21；(2) 0；(3) 1/2；(4) 1；
e15) 0；(6)sin．(7)lna
总习题一。1、偶函数．2、(1)无极限(2)无极限x、(1)
a；(2)2en
abc12、n2，a413、x0第一类跳跃14、x1,第一类跳跃15、(1)3；(2)e1
第二章导数与微分2.1导数概念。
2、（1）f(0)（2）f(x0)（3）2f(x，-14、y1x,y1x
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2.2函数的求导法则。
1、（1）yln22x
ln22x(2)y
x(1x)
3)yxcosxsinxx
4)y(x2)(x3)(x1)(x3)
x1)(x2)
5)y1cosxsinx(1cosx)
3.(1)y8(2x5)3
2)y3sin(43x)(3)y
x2sin4xa2x
4)yarctanx5)y
ex1x6)y2x(1x)
ysecx
ynsinn1
xcosxsinxn
xn1sinxcosxn9)y1
x1)x
f(x)f(x)g(x)g(x)
f2x)+g2
x)5．5(x3)4,5x46．(1)y
4(ete-t或。
cht)
2)yxx2
f(0)，注：本题不能用洛必达法则，只能用。
导数定义。2.3高阶导数。
1. (1)4-1a
xax3)yx
1x)2．(1)n!(2)(xn)ex
3.4excosx
2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1 (1)ayx
y2ax.(2)y
ysinxcos(xy)cosxcos(xy)
2. (1)y2x2y
3.(2)2e2
cossincostsint1sincos
sintcost
1t4tx
xsinx1ex
cotxex2(1ex)
2）(1x2)
tanxsec2xln(1x2
2xtanx1x2
2.5函数的微分。
2xexsin（2x2
exdx.(2)
1dx(3)
2ln（1x)dx.(1x2
1x2．dx*3. 1.00002总习题二。
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1）y3cos3x
1sinx2xsec
x)6、，0单调减，0，单调增。
x2）y3ex
cosxsinx)secxtanx2
3）y2(1x)sinx4xcosx1x2
cos2x
4)ysec(12
x)5)y1x1x
6)yxlnxlnlnx
7)y3x22xln2
2xln2
1cos1(x
2xxx8)yarcsinx2
n)2n-1
sin(2xn-12
3.250(x2
sin2x50xcos2x1225sin2x)
f(t)
tanx)sinx
cosxlntanxsecx)xxlnx1)
2xdx.1x
高等数学期中自测试题。
一、adcdd
二/23、-1
4、f(1)f(1)f(0)f(0)5、t1
三、1、(2n，2n)(n0，1，2，)limlnsxin
x五、提示：利用反证法，由零点定理推出矛盾。六、y2x七、hd23v0
八、连续。第三章微分中值定理与导数的应用。
3.1微分中值定理。
1.提示：首先验证函数满足lagrange定理的条件，并可求得23(1,2)
使f()f(2)f(1)
2.方程f(x)0有且仅有三个实根，它们分别在。
区间(0,1),(1,2),(2,3)内。
3.提示：利用反证法。
3.2洛必达法则。
1f(a)2
3.3泰勒公式。
1ln2(x(x
1tan3
x4,在x,之间。
xx2nnxn1)!
xo(x)3.4函数的单调性与曲线的凹凸性。
2.(,1,(1,)单调增加，(1
1)上单调减少。
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2,2]单调增，(,2],[2
单调减。4.凸区间(,1],凹区间[1,),拐点(1,11)9
3.5函数的极值与最大值最小值。
1.[1,e2
单调增，(0,1],[e2
)单调减，极小值f(1)0,极大值f(e24e
2,x053.最大值为2,最小值为-2.4.最小值yx2
max(
3.6函数图形的描绘。
1.水平渐近线y0.
2.水平渐近线y0；垂直渐近线x0.
3.7曲率。
1.曲率k2,曲率半径12
处曲率最大，为1.
3.8方程的近似解。
总习题三。
1ex1xln(
x2.提示：对函数(x)ex
在0到ba之间应用lagrange中值定理。4. (1) 1(2) 0(3)
4)(5)e2
5.(,2a),(a,)(
2a,a)3
单调增，3上单调减。
是极小值。4r,r
3r极小值点12.
第四章不定积分4.1不定积分的概念。
1.求下列不定积分：（1）27x9x3
9x51x7c5
12lnxxcx
3）x2arctanxc
4）2cosx3sinxxsin5c（5）3tanxxc（6）1e2x
exxc2（7）4cot
xc22．y2lnx1
3．fxx,x0
ex1,0x
4.2换元积分法。
1．用凑微分法求下列不定积分：
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xc；（2）2ccosx
1arctansin2xc2
lnx2c
x45）cos1csinx
x6）arcc3
arcsin
3sinxc
2．用换元积分法求下列不定积分：
xc（2）xc；1x
aaxx3）ln
1e1c；1ex
4.3分部积分法。
求下列不定积分：1．xlnxxc
2x14cos2x
xsin2xc
3．xlnx1x2
1x2c4.4有理函数的不定积分：
1）lnx2x5c
2）lnx4x3c
1x14lnx1
arctanxc
4）2lnx2ln
xc5）2x33x66x6ln1
x总习题四。
求下列不定积分2
3sinxcosx23c1x2a2
axcxexc．1x2
lnx1x
x2lnx1c
1cosx1cos5xc2
6．lncosxsinxc
x21x1xc1arctanxlnx1ln1x
x2arctanx
cxsin2lnxcoslnxc10．x1x2
ln1x1x
c11．in
nxlnxnin112．lnx1x
2arctan2x1c
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x1tancosx2122
sinx1ln
tanxc2
14．2arctantlnt1t1c
lnxx21arcsin1cx
x1xsin2xc2
x1cos2
x2x11
12lnxx2x12c
17．extanxc21x2c
x1第五章定积分5.1定积分的概念与性质。
1．略2.1）4,24；（2）1,e
2sin
xdx2sin
xdx；
exdx
xdxe4．提示：利用积分中值定理，罗尔定理。
5.2微积分基本公式。
5.3定积分的换元法和分部积分法。
3;2．1; 3.略。
2e95、解：设ytx，则当x0时，有。
1xxsinx,f(0)0
xf(y)dyf(x)；
xf(y)dyxf(x)x2sinx
f(x)f(x)xf(x)2xsinxx2
cosx,(x0)
f(x)2sinxxcosx
对上式在[0,x]上积分。
f(x)f(0)cosxxsinx1
故f(x)cosxxsinx1。
5.4反常积分。
2ln23（2）发散。
总习题五。1、提示利用罗比达法则求极限2.计算下列定积分（1）
elge
3.略。4.令gxxa2
fx，再证gx0
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bab6、n!2．（1）特解为lnytan
x22）分离变量后两边积分得通解。
第六章定积分的应用6.2定积分在几何上的应用。
2xxdx1．（1）（;2）
ylnx1x1x1x1
c代入初值得cln3
axaxdxy
lnln3
a3）lnb
eydy或。lnaa
blnblna)dx
lnblnx)dxa
a; 7.略。
6.3定积分在物理学上的应用。
总习题六。
3.2ab;
4.6ab2
6!!8!!32ab2
2r2第七章微分方程7.1微分方程的基本概念。
1.（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；(4) n阶2.（1）不是；（2）略3.所求函数为（1）yxe
2x2）ycosx7.2可分离变量的微分方程。
y10xc（2）(ex1)(ey
x27.3齐次方程。
1．（1）x2y2
arctanycex
2）lnycx1x（3）
1y1sin
2ylnxc2x4xy
2．（1）通解为e
xlnxc，ce
y特解为exelnx
2）通解为y3
c(y2x2
c=1特解为：y3y2x2
7.4一阶线性微分方程。
1.（1）y(xc)e
sinx2)xcy3
y3)yf(x)1cef(x)
2e3x
3x2ln13c2y
x1x1)
7.5可降阶的微分方程。
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1．（1）yc1lnxc2（2）ylncos(xc1)c2（3）y11c1xc
2．（1）ye2x
2）yarcsinx
7.6高阶线性微分方程。
1coskxc2sinkx)e
7.7常系数齐次线性微分方程。
1．(1)ye
mx(2)p0q1
3）p2,q2（4）p2,q0
5）p0,q4（6）p2,q3
7）y0（8）yy0
9）yk2y0（10）yy0
2．（1）xc2tc3t
1e2e2）yc1sinxc2cosx（3）ye
xc1cos3xc2sin3x)
4）xc2t
1(c2c3t)e(c4c5t)e
2t3．（1）y3e
2xsin5x
1（2）y[cos(
3x3xx2
sin(
]e7.8常系数非齐次线性微分方程。
1．bcdcdbdbbb
2．（1）ycx
1c2eex(x23x
2）y5ex1e3x
exexx2x)2
ycxx
x1ec2e
2xe总习题七。
一、a bdcac
二、1．xatbtlnt,其中a,b为常数)
5．y*x(ax2bxc)dxe
2x1x2e3
三、1．(x)c1xc2
siny2(siny1)
3．arcsin
yxlnxc
5．y3e2x
sin5x6．sinxccosx四、（略）
高等数学模拟试题（一）
一、1．a；2．c；3．a；4．b；5．c；二、1．
24．；4第9页/共10页。
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三、1．f(x)e2xex
2定义域（，）
2．y(0)1y(0)2；3．xarcsinx1x2c；4．
5．2f(e2xe2x)(e2xe2xdx四、
1．设f(x)(1x)ln(1x)arctanx2．
3．引入辅助函数(x)f(x)x五、
六、安排生产速度为x3
a2k时，可使总生产。
成本最省。高等数学模拟试题（二）
一．1．a 2．c 3．b 4．b 5．d2二．1．[
1yd32．e
x2y4．1x2c2
三．1．9；2．
1xcos3x
1sin3xc3
4．2；5．ysinxcosx
四．1．提示：令f(x)ex
xe，证其在[1,)
上单调递增2
1t4t
3．切线方程为xy
a，法线方程为xy0五．1．
2．最大值为2，最小值为。
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高等数学作业下 1 答案
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高等数学作业答案
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高等数学作业答案
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