12． 不全为零
4．解：令，，则，且。
不是常数，故是齐次线性微分方程两个线性无
关的解，从而是方程的通解。
5．解：令，则。
从而微分方程可化为，即（）
两边积分得：，即，其中（）
从而有，解得，此即原微分方程的通解。
6．解：令，则，从而原微分方程可化为。
即，两边积分得：，即。
由得。故有，积分得：.
再由得，从而所求特解为：.
6．解：特征方程为，解得：
故微风方程的通解为：
由得，又。再由得
于是，所求微分方程的特解为。
4.求微分方程的通解。
解：对应的齐次线性微分方程的特征方程为，解得：
从而齐次线性微风方程的通解为。
由于是特征方程的一个单根，故可设所给微分方程的一个特解为，
代入所给微分方程可得，从而特解为，所求微分方程的通解为：
5.就常数的不同情形，求解微分方程。
解：特征方程为：
若，特征方程有两个不相等的实根，从而微分方程通解为：
若，特征方程有两个相等的实根，从而微分方程通解为：
若，特征方程有一对共轭复根，从而微分方程通解为：
1．vi, ,
4.，同向。
5．已知点，若点使，求的坐标。
解：，，由得：
从而，故点。
坐标为。6．已知一向量模长为2，且与轴和轴的正向成等角，与轴的正向的夹角是它们的
二倍，求这一向量。
解：设所求向量为，的三个方向角为，则，.
由得，故或；
从而或。于是所求向量或。
1．平行于平面且垂直于的单位向量是
2．设，则=15.
3．设，则=.
4．，，试求及。
解： 5.单位向量满足，求的值。
解：由得。即
又是单位向量，故。
从而。6．设，求。解。
5．求点在平面上的投影。
解：过作垂直于已知平面的直线，则其参数方程为。
代入已知平面方程，解得，故投影点为（7，0，1）
6．一个平面与平面平行，且到原点的距离为1，求此平面的方程。
解：设所求平面方程为，则原点到此平面的距离为。
由条件，解得，故所求平面为： 或．
4．求平面与各坐标面的夹角余弦。
解：设平面的法向量为，则。 于是，平面与坐标面的夹角余弦，平面与坐标面的夹角余弦，平面与坐标面的夹角余弦。
5．直线过点且平行于平面c:又与直线： 相交，求直线的方程。（提示：先求过的平面方程，再求该方程与的交点）
解：过点作平行于平面c的平面：，即
则直线在平面上，与的交点即是与的交点。
联立与的方程解得交点为，从而所求直线方程为．
3．母线平行轴，准线为平面上曲线的抛物柱面。
5．求平面上曲线绕轴旋转而成的旋转曲面方程。
解：由题设，所求旋转曲面方程为
6.指出方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形。
解：平面解析几何中表示双曲线；空间解析几何中表示母线平行于轴的双曲柱面。
4.求旋转抛物面在三坐标面上的投影。
解：在面上的投影为。
在面上的投影为。
在面上的投影为。
5.求向量函数的积分。解：
5.解：设椭球面方程为，与交线为故，且由于过点，得，从而故椭球面为
6.已知。求以和为边的平行四边形的面积。
解：平行四边形的面积为。
4．证明极限不存在。
证明： 与有关，故极限不存在。
5．证明。证明： ，而，6．设，已知时，，求和。
提示：把、代入化简得）
解：由题设，，
4. 设，求。
解：，；5．证明：若在点处可微分，则它在该点处必连续。
证明： 在点处可微分，，其中，即，故在连续。
5. 设由所确定，试求。
解：方程两边同时对求导得： -
方程两边对求导得： -
由得---又时，，，代入，式得，
再代入得。6. 函数由方程组所确定，求。
解：方程组两边同时对求偏导数得：，解得：
方程组两边同时对求偏导数得：，解得：
从而。另：从方程组直接解得，于是可计算得到。
5．设，求，.
解：，，于是。
6.求函数在点（1,2,1）处沿方向的方向导数。
解：, 又
5．求曲线上的点，使曲线在该点处的切线垂直于平面。
解：设该点为，对应的参数为，则曲线在该点的切向量为。
记，由题设， /故有，
从而所求的点为。
5．求函数的极值。
解：由解得函数驻点为，
对于驻点，，故不是极值点；
对于驻点，，且，故点是极小值点，函数有极小值。
对于驻点，，且，故点是极小值点，函数有极小值。
6. 求内接于半径为的球且具有最大体积的圆柱体的尺寸。（提示：设圆柱体的底圆半径为米，高为米。)
解：设圆柱体的底圆半径为米，高为米，则圆柱体体积，且，令
由得： 由于实际问题必定存在最大值，因此满足条件圆柱体的底圆半径为，高为。
4．试证曲面上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距之和等于常数。
证明：曲面上点处的切平面法向量，切平面方程为 ， 即，故切平面在三坐标轴上截距之和为为常数。
5．一个容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？
解：设水池的长、宽、高分别为米。水池底部的单位造价为。
则水池造价，且。
令，由。解得 ,由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为
8米、8米、2米时，其造价最低。
3．利用二重积分的性质，比较积分。
的大小，其中。
解：，，4．用二重积分的几何意义，求。解：
5．计算二重积分，其中 .解：
4．计算二重积分， 其中。
解： 5.计算二重积分， 其中，.解：
4.计算为曲线绕轴旋转一周生成的曲面与平面和所围的立体。
解：旋转曲面方程为：；
则， 于是。
4.利用极坐标计算二重积分其中。
解： 5.计算三重积分，其中是由曲面与所围成的区域。
解：，其中， 是在坐标面上的投影区域。
由对称性，1．
5．计算其中l是直线上从点到点之间的一段。
解：由题设，
6．计算，其中是螺线。解：，，
4．计算，式中l是曲线 .
l的方向与t增大的方向一致。解：
4．计算曲线积分，其中l为圆周，方向为逆时针方向。
解：在所围的的区域内作一半径充分小的圆周（充分小），方
向为逆时针方向，并记与所围的区域为；令，，
则在所围的区域内具有一阶连续的偏导数，且。
由格林公式，从而，
5．设是点沿圆到点的半圆，计算积分。
解：记，则，故曲线积分与路径无关。
取积分路径为折线，其中点，则。
3．计算i=，其中是球面为正数).
解：由对称性，
4．设是锥面被平面所截下的有限部分曲面，计算。
解：在xoy面上的投影区域为，， 面积元素。
2．计算其中为圆柱面在第一卦限中被平面及所截出部分曲面块的前侧，和均为正数。
解：由题设，；
在面上的投影区域为，于是。
3.计算曲面积分，其中是球面的下半部分的下侧。
解：由题设，曲面：在面上的投影为。
1．计算积分，其中是的外侧。
解：令，，，为所围的空间闭区域，由高斯公式得：
本题也可用球面坐标法：
2．计算，其中是由及在第一卦限中所围成的立体的表面的外侧。
解：令，，，为所围的空间闭区域，由高斯公式得：
3．计算，其中，为球面的外侧，为正数。
解：记围成球体为ω，注意到在上，由高斯公式，1.
4.计算曲线积分取顺时针方向。
解：，，记所围区域为，由格林公式：
5.计算积分的法向与轴正向夹角为锐角。
解：补充平面：，，取下侧，并记与所围空间闭区域为；
由高斯公式：
6.计算其中为圆柱面被平面及所截部分曲面的内侧，和均为正数．
解：补充，取上侧；，取下侧。围成的圆柱体为，，由高斯公式：于是。
高等数学作业上 2 答案
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高等数学作业下 2 答案
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