一、单项选择题(本大题共5小题， 每小题3分， 总计15分)
1、设=（
2、设区域则积分在极坐标下的累次积分为（ ）
3、设为球面，则对面积的曲面积分=（
4、设级数收敛，则下列级数必收敛的为（ ）
5、设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数， 则该非齐次线性方程的通解是（ ）
二、填空题 (本大题共5小题， 每小题3分，总计15分)
1、曲面在点处的切平面方程为。
2、设，由二重积分的几何意义知。
3、设椭圆的周长为，则曲线积分。
4、当时，级数条件收敛。
5、若某三阶常系数线性齐次微分方程有解为，， 则该三阶常系数线性齐次微分方程为。
三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)
1、设数量场。
求：(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。
2、计算二次积分。
3、求微分方程的通解。
4、计算积分，其中l是从点沿曲线到点的弧段。
四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)
1、设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求，。
2、计算曲面积分，其中为曲面，取下侧。
3、求幂级数的收敛域及和函数，并求数项级数的和。
4、设是周期为的周期函数，且()，试将展开成傅立叶级数。
五、解答题(本题8分)
已知曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，以为直径所作的圆均过点，求此曲线的方程。
六、证明题(本题6分)
已知正项级数收敛，证明数列收敛。
练习一解答。
一、单项选择题(本大题共5小题， 每小题3分， 总计15分)
二、填空题 (本大题共5小题， 每小题3分，总计15分)
三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)
1、设数量场。
求：(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。
解：(14分。
2)，故在点处方向导数的最大值为。 …7分。
2、计算二次积分。
解4分。7分。
3、求微分方程的通解。
特征方程，对应齐次方程的通解为。
（其中为任意常数4分。
因是特征根，设特解为，其中a为待定常数，代入原方程，得6分。
从而得通解7分。
4、计算积分，其中l是从点沿曲线到点的弧段。
解：这里，。
由于，可见不成立2分。
记，则。则曲线积分满足与路径无关的条件，选择与l起终点相同的直线段，有。
而 ……6分。
故所求积分7分。
四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)
1、设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求，。
解： …3分。
7分。2、计算曲面积分。
其中为曲面，取下侧。
解：取平面，取上侧．则与构成封闭曲面，取外侧．令与所围空间区域为，由gauss公式，得。
………2分。
7分。3、求幂级数的收敛域及和函数，并数项级数的和。
解：, 时原级数为收敛，故此幂级数的收敛域为。 …2分。
设，,则。5分。
故7分。4、设是周期为的周期函数，且()，试将展开成傅立叶级数。
解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点处不连续，因此，的傅立叶级数收敛于，在连续点收敛于。 …2分。
若不计，则是周期为的奇函数。 …3分。5分。故。
7分。五、解答题(本题8分)
已知曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，以为直径所作的圆均过点，求此曲线的方程。
解：过点的切线方程。
令，即2分。
由题意， 得，化简。
即 （bernoulli方程4分。
令，得，其通解为。
故原方程通解为，又，得。
所以该曲线的方程为8分。
六、证明题(本题6分)
已知正项级数收敛，证明数列收敛。
证明：记。因正项级数收敛，故，又，由正项级数比较审敛法的极限形式知级数也收敛并记其和为4分。
即，于是，
故数列收敛6分。
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
本大题共4小题， 每小题3分， 总计12分)
1、函数在点处的偏导数均存在是函数在点存在全微分的。
必要而非充分条件充分而非必要条件。
充分必要条件既非充分又非必要条件。
2、设为曲面上的部分，则曲面积分。
3、若区域为，则二重积分化成累次积分为 (
其中。4、设为常数，则级数。
条件收敛绝对收敛收敛性与有关发散。
二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共4小题， 每小题3分，总计12分)
1、函数在点处取得极值，则常数。
2、将交换积分次序得。
3、是以2为周期的函数，且在（]上有表达式，是的傅立叶级数的和函数，则。
4、已知某二阶常系数线性齐次微分方程的一个特解为；则该二阶常系数线。
性齐次微分方程为。
三、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)
1、设，求。
2、求曲面在点处的切平面和法线方程 。
3、计算二重积分其中。
4、计算，其中是沿曲线从点a到b的圆弧。
四、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)
1、设具有连续的二阶偏导数，求。
2、设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导，且。
3、计算其中是曲面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
4、设是周期为的周期函数，且()，试将展开成傅立叶级数。
五、解答下列各题(本大题共2小题，每题7分，总计14分，每题要有必要的解题步骤)
1、求幂级数的收敛域及和函数，并计算极限。
2、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。
六、证明题(本题6分)
设正项数列单调减少，且发散，证明级数收敛。
练习二解答。
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
本大题共4小题， 每小题3分， 总计12分)
二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共4小题， 每小题3分，总计12分)
三、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)
1、设，求。
6分。故7分。
2、求曲面在点处的切平面和法线方程 。
对应的切平面法向量3分。
切平面方程 ， 或5分。
法线方程7分。
3、计算二重积分其中。
3分。7分。
4、计算，其中是沿曲线从点a到b的圆弧。
2分。为了利用格林公式，补加，使成为闭曲线，且为所围区域的边界曲线的正向。5分。
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