多元函数概念。
一、选择题：设，则；
a、； b、； c、； d、。
二、 填空题
1、若，则； 2、；
5、函数的定义域为。
三、计算题。
四、讨论题：讨论在定义域上的连续性。
解：，在整个平面内处处连续。
五、证明题：证明不存在。
证明：与有关，故不存在。
偏导数。一、选择题：函数的二阶混合偏导数为；
a、； b、；
c、a和b均正确d、以上答案都不正确；
二、填空题。
1、设，则；
2、设，则。
三、计算题：求下列函数的。
一、二阶偏导数。
四、证明题：证明在点(0,0)处不连续，但两个偏导数存在。
证明：，但。
与有关，故在点(0,0)处不连续。
全微分。一、选择题：“在处连续”是“在处可微”的。
a、充分条件； b、必要条件； c、充要条件； d、非充分也非必要条件。
二、填空题
1、设函数，则；
2、设函数，则；
3、设，则；
三、计算题。
1、求函数在由变到时的全增量和全微分；
解：，；2、求函数当时全微分；
解：。四、证明题：证明在点(0,0)处可导，但不可微。
证明：，但。
不存在)，即。
故在(0,0)处不可微。
多元函数的求导法则。
一、选择题。
1、设是由方程所定义隐函数，其中可微，則。
a、； b、； c、； d、；
2、设都是由同一方程所确定的具有连续偏导数的函数，則。
a、1bc、； d、；
二、填空题
1、设，则；
2、设，则。
三、计算题。
1、设，求；
解：；2、设，求；
解：，；3、设，求；
解：；4、设，求；
解：，5、设，求；
解：方程组两边对求导，得，解之得。
四、证明题。
1、设，而可微，则；
证明：，2、设，而t又是由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，试证明。
证明：方程组两边求微分得，解之得：
微分法在几何上的应用。
一、选择题。
1、曲线在点处的切线一定平行于。
a、平面； b、平面； c、平面； d、平面；
2、曲面的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为。
abc、； d、6。
二、填空题。
1、曲线在对应于的点处的切线为；
2、曲面在点的切平面为；
三、计算题：求曲面上平行于平面的切平面方程。
解：设切点为，则，而切平面为，平行于，故所求切平面为。
四、 证明题：证明曲面上所有点处的切平面都过一定点。
证明：设切点为，则，而切平面为：即。显然。
方向导数与梯度。
一、选择题。
1、设在点可导，则在点处沿着轴正向的方向导数为；
abcd、；
2、在点处沿点指向点方向的方向导数为；
ab、1cd、2。
二、填空题。
1、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为；
2、设，则。
三、计算题。
1、求函数在球面上点处沿球面在该点的外法线方向的导数；
解：，，2、函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数，并说明的意义。
解：由于，，故。
且与同向，从而表示在点处函数值增加最快的方向。
多元函数极值。
一、选择题：在面上到直线及的距离平方和最小的点为。
ab、； c、； d、；
二、填空题。
1、函数的驻点是，极值点是；
2、在斜边之长为的一切直角三角形中，周长最大的三角形为。
三、计算题。
1、求下列函数的极值。
解：，故为函数的极小值，且；
解：，故依次为函数的极大、小值点，且，而非函数的极值(鞍点)；
2、求函数在约束条件下的极大值。
解： 令，则。
极大值为；四、应用题。
1、求椭圆曲线到原点之间的最长、最短距离；
解： 椭圆曲线到原点的距离为，令。
则。2、第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标面的围成的四面体的体积最小，求切平面的切点，并求此四面体的最小体积。
解： 设切点为，则，而切平面及其与三坐标面的围成的四面体的体积分别为，，令，则由得：
二重积分的概念与性质。
一、 判断题
1、设，，则(对)；
2、设，，则错)；
3、若，则对)；
4、若在上连续，，则必有错)；
二、填空题：设在有界闭区域上连续，而对称于轴，且，则。
三、计算题。
1、比较积分大小。
．设围成，则；
．设，则；2、估计积分大小范围。
．设，则；．设，则。
二重积分的计算。
一、填空题
1、由平面所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体之体积为；
2、平面薄片所占的区域由及轴所围成，其面密度，则其质量为。
二、 计算题。
1、，其中：
解：；2、，其中是由所围成的闭区域；
解：；3、，其中是由所围成的闭区域；解：；
解：；5、，其中是由及坐标轴的围成的第一象限内的闭区域；
解：；6、，其中；
解：；7、，其中在第一象限的部分；
解：。三、 证明题。
1、设在上连续，是及所围成的闭区域，则。
证明： 由于，故；
证明：；3、设在有界闭区间上连续，则。
证明：令，则，且。
二重积分的应用。
一、填空题。
1、被柱面所割下部分的曲面面积为；
2、以及三坐标面围成的立体体积为。
二、计算题。
1、求双纽线所围成的平面区域的面积；
解：；2、求两个直交圆柱面及所围成的立体的表面积；
解：；3、设平面薄片所占的闭区域由直线所围成，其面密度，求该薄片的重心；
解：，故；4、设矩形板(面密度为常数)长宽分别为和()，求板对于通过其形心且与长边平行的轴的转动惯量。
解：。三重积分。
一、选择题。
1、设，则。
abcd、；
2、，则。a、； b、；
cd、。二、填空题。
1、设，则；
2、设，则；
3、设，则；
4、设由曲面与平面围成，则。
三、计算题。
1、，其中是由与三坐标面围成的区域；
解：；2、，其中是由曲面与平面围成的第一卦限部分；
解：；3、，其中；
解：；4、，其中是由曲面围成的区域；
解：；5、设在处的质量密度为为常数，求其质量；
解：；6、设密度为常数，求其重心及其对轴的转动惯量；
解： 重心及对轴的转动惯量分别为：
7、求匀质柱体对位于处质量为的质点的引力，其中为常数。
解： 由对称性知，引力为，其中：
对弧长的曲线积分。
一、选择题。
1、设，则。
ab、；cd、；
2、设，则中正确的是。
ab、； c、 不需考虑与的大小关系。
二、填空题。
1、设，则；
2、设面上曲线弧在处它的质量线密度为，则其质量的积分表达式为。
三、计算题。
1、设是以为顶点的三角形边界曲线，求；
解：；2、设是连接的直线段，求；
解：；3、设，求；
解：；4、设螺旋形弹簧一圈的方程为，其质量线密度函数，求其质量及其关于轴的转动惯量；
解：，5、半径为、圆心角为的均匀圆弧段()的重心。
解：的重心为，其中。
对坐标的曲线积分。
一、选择题：设为面上从点的直线段，则下列不正确的是。
a、； b、；
cd、。二、填空题。
1、设为面内上的直线段，则；
2、积分的名称分别是定积分，对弧长、对坐标的曲线积分 。
三、计算题
1、设，在下列三种情形下计算
为上从点的弧段；
解：此时，故；
为上从点的弧段；
解：此时，故；
为折线段；解：此时，故。
2、设，在下列三种情形下计算。
为上从点的直线段；
解：此时，故；
为上从点的弧段；
解：此时，故；
3、，其中为圆周上对应于从0到的弧段；
解：此时，故；
4、，其中为圆周(逆时针一圈)；
解：此时，故；
5、设正向轴与重力方向一致，现有一个质量为的质点在其重力作用下，从点沿直线移动到点，求此过程中重力所做的功。
解：，，故。
格林公式及应用。
一、 选择题
1、设为内一条无重点、分段光滑、不经过原点的有向连续曲线，，则下列结论中错误的是。
a、若为绕原点的闭曲线，则积分值与的形状无关；
b、在左半平面内，积分值与的形状无关；
c、若为不绕原点的闭曲线，则积分值为0；
d、积分与的路径无关。
2、设是某函数的全微分，则等于。
ab、0c、1d、2。
二、填空题。
2、设面上简单封闭的正向曲线所围区域之面积为，则的曲线积分表达形式可为。
三、计算题。
1、，其中是以(0,0),(3,0),(3,2)为顶点的三角形(逆时针)；
解：，则由格林公式得；
2、利用曲线积分计算星形线所围区域的面积；
解： 3、，为椭圆的正向边界。
解：，则由格林公式得；
4、，是沿的上半部从到的弧段；
解：，则由格林公式得。
5、已知平面力场，求质点沿路线由点移动到时，力场所做的功。
解：，则由格林公式得。
四、计算题：验证表达式是某个二元函数的全微分，求出其全微分的原函数，并计算。
证明：令，则，且。
对面积的曲面积分。
一、 选择题。
1、设，而为连续函数，则。
ab、；cd、；
2、设，则。
ab．2； c．4； d．4；
3、设为平面在第一卦限的部分，则。
abc、； d、。
二、填空题。
1、球面含在内的部分之面积为；
2、密度为常数的均匀球壳对直径的转动惯量为。
三、计算题。
1、求，其中为锥面及平面所围区域的整个边界曲面；
解： 2、求质量密度为的抛物壳之质量；
高等数学B作业
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