行列式。
一、选择题。
1、下列排列中是偶排列的是。
2、下列阶行列式值一定为零的是。
主对角线上的元素全为零； 三角形行列式主对角线上的有零元素；
行列式中零元素多于个行列式中非零元素多于个；
二、填空题。
1、级排列的逆序数为；
2、行列式。
三、计算题。
1、计算下列行列式。
并计算代数余子式组合；
解：将其各行加到第一行，并在第一行提出公因式，得。
按行列式的性质；
解： (按第一行展开)。
2、用克拉姆法则求解方程组。
解：，由克拉姆法则知，其解为。
四、证明题。
(按第一列展开)
其中。五、讨论题：若方程组有非零解，问应满足什么条件。
解：上述方程组有非零解的充分必要条件为。
矩阵及其运算。
一、选择题
1、设阶方阵满足关系式(单位阵)，则必有。
a、； b、； c、； d、；
2、设是阶可逆方阵的伴随矩阵，则。
a、； b、； c、； d、。
二、填空题。
2、设为可逆矩阵，则；
3、设，则对任意的自然数，恒有：
三、计算题。
1、已知两个线性变换与，求从到的线性变换。解：，即。
2、设，求及；
解：，；3、设，且，求；
解：，；故；
4、设，其中，求及；
解：，其中，故，5、设，求；解： 故。
6、设，而矩阵满足，求。
解：由于，故只要求出即可，而，故，。
四、证明题。
1、设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。
证明：。2、设方阵满足，证明及都可逆，并求及；
证明：，故及都可逆，且。
3、用数学归纳法证明；
证明：，其中，，故。
矩阵的初等变换与线性方程组。
一、选择题
1、设，且，则方程组，则必有。
a、有唯一解； b、无解； c、有无穷多解； d、不能判定是否有解；
2、设的秩，则。
a、； b、； cd、。
二、填空题。
1、矩阵的行最简形矩阵为；
2、对于方程组，则其有唯一解，无解，有无穷多解。
三、计算题。
1、求下列矩阵的逆矩阵。
解：，故。
解：，故。2、求下列矩阵的秩。
3、求解下列线性方程组：
解：；解：；解：；
解：。四、证明题。
1、设，则。
证明：。2、设是阶可逆方阵经过对调第两行后所得的矩阵，则可逆，并求。
证明： 用表示阶单位矩阵经过对调第两行后所得的初等矩阵，则。
故可逆，且。
向量组的线性相关性。
一、选择题
1、下列向量是的线性组合的是。
a、； b、； c、； d、；
2、向量组线性相关中满足。
a、至少有一个零向量b、至少有两个向量成比例；
c、至少有一个向量可由其余向量线性表示； d、至多有一部分向量线性相关。
3、设，则方程组只有零解的充要条件是。
a、的行向量线性无关b、的列向量线性无关；
c、的行向量线性相关d、的列向量线性相关。
二、填空题。
1、设向量组线性相关，则；
2、设向量组线性无关，则线性无关。
三、计算题。
1、利用初等变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，为其极大无关组，且；
为其极大无关组，且；
为其极大无关组，且；
2、求方程组的基础解系和通解。
求一个齐次线性方程组，使其基础解系为；
解：以为基础解系的方程组的通解为，从而这样方程可取为；
解：，即；解：，即，通解为；
四、讨论题：举例说明下列命题是错误的。
1、若向量组线性相关，则可由线性表示；
解：如；2、若存在不全为零的数，使，则向量组线性相关，也线性相关；
解： 如；3、若只有全为零时，才有，则向量组线性无关，也线性无关。
解： 如；五、证明题。
1、对于任意向量，向量组永远线性相关；
证明：，而不可逆，故，即线性相关；
2、设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关；
证明：令，由题设知，存在方阵，使，即可逆，从而线性无关；
3、设，则；
证明：由于，故；
4、试证由的线性组合所构成向量集合是实数集上的一个向量空间，并且就是空间；
证明：；5、设都是阶矩阵，且，证明。
证明：若，则的列向量为的解空间中的向量，从而可由该方程组的基础解系线性表示，从而，即。
相似矩阵与二次型。
一、选择题。
1、设，则的特征值为。
a、； b、； c、； d、；
2、方阵可以对角化是指。
a、能相似于某个对角阵b、能等价于某个对角阵；
c、能等于某个对角阵d、与某个对角阵有相同的特征值；
3、二次型是
a、半正定的； b、正定的； c、负定的； d、不定的。
二、填空题
1、设均为阶正交矩阵，则；
2、方阵相似于某个对角阵；
3、是正定二次型。
三、计算题。
1、利用施密特正交化方法，把向量组正交规范化；
解：，由可构成一个正交阵：；
2、求下列矩阵的特征值与特征向量。
解：，故的特征值为，对应的特征向量满足，故；
对应的特征向量满足，故。
解：，故的特征值为，且。
对应的特征向量满足，故。
只能得到一个)；
对应的特征向量满足，故。
3、求及的特征值与特征向量；
解：的特征值与特征向量。
由于，故的特征多项式为，特征值为；
.对应的特征向量。
特征向量满足，该方程的基础解系(即对应的特征向量空间)含有两个线性无关的向量，先取其中的一个单位解向量为第一个特征向量，然后再取另一个与正交的单位解向量为第二个特征向量，即再解如下方程：
得；.对应的特征向量。
特征向量满足，该方程的基础解系(即对应的特征向量空间)含有一个线性无关的向量，取其中的一个单位解向量为特征向量；
.正交相似阵。
取，，则为正交阵，且满足。
即；的特征值与特征向量。
由于，故，即的特征值分别为，相应的特征向量都仍为；
从而的特征值分别为，相应的特征向量都仍为，同时还满足。
即也可以对角化。
4、设的逆矩阵的特征向量为，求的值；
解：由于的特征向量为，故也是的特征向量之一，故存在数，使，即，从而。
解之得或。5、设的可对角化，求及其标准形。
解： 由于， 故的特征多项式为，特征值为，若可对角化，则对应的特征向量组的秩应为，从而，而，从而，此时对应的特征向量满足。
可取为对应的两个特征向量；
而对应的特征向量满足。
可取为对应的特征向量；
令，则为可逆阵，且满足，即。
6、下列矩阵能否对角化？若可以，求可逆矩阵，使为对角阵：
解：由于，故的特征多项式为，特征值，而对应的特征向量满足，该方程的基础解系为，只能得到两个线性无关的特征向量，因此矩阵不能对角化；
解：由于，故的特征多项式为，特征值；
.对应的特征向量满足：
特征向量可取为；
.对应的特征向量满足：
该方程的基础解系为，只能得到一个线性无关的特征向量，从而矩阵只有两个线性无关的特征向量，不能对角化；
解：由于，故的特征多项式为，特征值两两互异，可以对角化；
.对应的特征向量满足：
特征向量可取为个；
.对应的特征向量满足：
特征向量可取为；
.对应的特征向量满足：
特征向量可取为；
令，则为对称正交阵，且满足。
即。7、设为3阶矩阵，在下列条件下，分别求：
的三个特征值及相应的特征向量分别为：
解：令，则，且。故。而。
为实对称阵，其三个特征值为，且对应的特征向量依次为；
解：由于3阶实对称阵的三个特征值互异，故对应的特征向量相互正交，从而对应的特征向量满足，即。
故，令，则。
为实对称阵，其三个特征值为，且对应的特征向量为。
解：由于实对称阵的互异特征值对应的特征向量相互正交，故对应的特征向量满足，故，先取其特解之一为对应的第一个特征向量，再取上述解向量中与正交的向量为第二个特征向量，即，故。
故可取，令，则。
8、设，求；
解：，故的特征值为，对应的特征向量满足，故；
对应的特征向量满足，故。
令，则，故。
9、设为三阶矩阵，其三个特征值互异，为常数，为的伴随矩阵，求行列式的值。
证明：由于三阶矩阵的三个特征值互异，故可逆，且。
有相同的特征向量，从而它们可以同时对角化，即存在可逆阵，使，且。
从而。10、用指定方法将下列二次型化为标准形，并写出变换矩阵：
配方法；解：，其中；
特征值正交变换法。
解：，特征值，对应的特征向量满足，故；
对应的特征向量满足，故；
对应的特征向量满足，故；
令，则，且。
四、证明题。
1、设方阵满足，且，则为正交矩阵；
证明：；2、设为阶方阵，且可逆，则相似。
证明：。3、设为阶方阵，且，则有相同的特征值及公共的特征向量。
证明：由于，故方程组有非零解，即存在，使。
这表明是的特征值，而是它们公共的特征向量。
4、设正交阵，则。
也是正交阵。
证明：由于正交阵，故，故。
故；故也是正交阵。
5、设阶方阵满足，其中，则中至少有一个是的特征值。
证明： 由于，故。
故必有，从而中至少有一个是的特征值。
6、设，则。
证明： 故。
7、设为方阵，其特征多项式为，则。
与相似零矩阵)。
证明：设的标准形为，其中。
为第个块，；
则存在可逆阵，使。
令，则，且，取，则，即，从而，即。
故与相似；在前述假设下，有，故。
注意到，故，从而，故。
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