第三章中值定理与导数应用姓名学号
1 微分中值定理。
1．验证函数在区间上满足罗尔定理的条件，并求出中值。
2．验证函数在区间上满足拉格朗日定理的条件，并求出中值。
3． f (x) 在(00 (a af (b) bf (a)=0 证明在(a,b) 内至少存在一点，使。
4． 函数的导数，证明是关于的一次函数。
5． 设 f (x)在上连续，在(a,b )内二阶可导。连接点 a (a,f (a))与点 b(b,f (b))的直线段交曲线y=f (x) 于 c(c,f (c)) 处，此处 a6． 用中值定理证明不等式：
7． 设函数定义于，存在且单调下降，证明：对于。
8． 设在内可微，但无界，证明在内也无界。
2 罗必塔法则姓名学号
1． 求下列格式的极限：
2． 设具有二阶连续导数，且。
3． 设具有二阶连续导数，且可导，且导函数连续。
3 泰勒公式姓名学号
1． 默写出：的泰勒展开式。
2． 求证：
4.将展开成二阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项）。
5.当时，求的三阶泰勒公式 (拉格朗日型)
6．将展开成阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项）。
7．已知处的二阶泰勒公式为：
求的表达式。
8．若。9.似计算。
4 函数的单调性、极值、最值姓名学号
1．在（ ）上单调增加；在（ ）上单调减少。当（ ）时，取极大值（ ）当（ ）时，取极小值（ ）该函数在[-1，2]上最大值为（ ）最小值为（ ）
2．（ 时，取极（ ）值为（ ）
3．在（ ）时，取极（ ）值为（ ）
4．在（ ）单调减少；在（ ）单调增加。在（ ）时，取极（ ）值为（ ）
5．在（ ）时，取极（ ）值为（ ）
6.设 f (x) 为连续函数，f (0)=0，则f (x) 在x=0处。
(a) 不可导 (b) 可导且 (c) 取极大值 (d) 取极小值。
9．设时取极值，并。
问是极大值还是极小值，并求出该极值。
10.求下列函数的单调区间：
11.曲线的切线与两坐标轴围成一个三角形，问切点在何处时三角形的面积最大。
12.利用函数的单调性证明：
13.证明不等式：
§5 函数图形的凹凸性，拐点及函数图形的描绘姓名学号
1．的图形在（ ）上是凹的；在（ ）上是凸的。（ 是该曲线的拐点。
2．曲线在（ ）上是凹的；在（ ）上是凸的。（ 是该曲线的拐点。
3． 曲线在（ ）上是凹的；在（ ）上是凸的。（ 是该曲线的拐点。
4． 曲线的渐近线为（ ）
5． 曲线的渐近线为（ ）
6． 的某一邻域内有直到5阶连续导数，且。
是否为的极值点？是否为曲线。
7． 利用函数的凹凸性证明。
8.试决定曲线中a,b,c,d, 使得点为驻点 ,为拐点。
9.设， (1) 求函数的增减区间和极值， (2) 求函数图形的凹凸区间及拐点。
3) 求其渐近线 (4) 作出其图形。
10.作函数的图形。
6 曲率姓名学号
1． 曲线处的曲率为（ ）
2． 抛物线在顶点处的曲率为（ ）
3． 曲线处的曲率为（ ）
4． 对数曲线在任意点处的曲率为（ ）
5． 求抛物线在顶点处的曲率及曲率半径。
6． 求曲线在（2，4）点处的曲率，曲率半径及曲率中心。
7． 求曲线处的曲率，曲率半径及曲率中心和曲率圆。
8． 求曲线的最大曲率。
9． 曲线弧上哪一点处曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。
10． 求对数曲线上曲率最大的点。
11.证明：曲线在任何点处的曲率半径为。
高等数学作业上 2 答案
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