第4章导数的应用。
一：单项选择题。
1：若函数满足条件（ d ），则存在，使得。
a: 在内连续。
b: 在内可导。
c: 在内连续且可导。
d: 在内连续，在内可导。
2:函数（ d ）。
ab： cd:
3:函数在区间内满足（ a ）。
a: 先单调下降再单调上升b：单调下降。
c：先单调上升再单调下降d：单调上升。
4：函数满足的点，一定是的（ c ）。
a：间断点b：极值点
c：驻点d: 拐点。
5：设在内有连续的二阶导数，，若满足（ c ），则在取得极小值。
ab： cd:
6:设在内有连续的二阶导数，且 ，则在此区间内是（ a ）。
a：单调减少且是凸的b：单调减少且是凹的。
c：单调增加且是凸的d: 单调增加且是凹的。
二：填空题。
1：设在内可导，，且当时，当时，则是的（ 极小值）点。
2：若函数在点可导，且是的极值点，则（ 0 ）.
3：函数的单调减少区间是。
4：函数的单调增加区间是。
5：若函数在内恒有，则在上的最大值是 （
6：函数的拐点是。
三：计算题。
1：求函数的单调区间和极值。
解： 令两个驻点。
列表如下：2:求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值。
解：，令且。
y（1）=2是极小值点。
y(0)=3
y(3)=6
即y(1)=2是最小值，y(3)=6是最大值。
3:求曲线上的点，使其到点的距离最短．
解： 4:圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如图所示，圆柱体高与底半径满足。
圆柱体的体积公式为。
将代入得。求导得。
令得，并由此解出．即当底半径，高时，圆柱体的体积最大．5: 一个体积为v的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
解：设圆柱体的底半径为r,高为h ,则其表面积为s,，由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省。
此时，即当圆柱体的底半径与高分别为与时，表面积最小。
6:欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：四：证明题。
1：当时，证明不等式．
证明：设，则有。
当时，，故单调增加，所以当时有，即。
不等式成立，证毕．
2：当时，证明不等式．
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