《高等数学基础》课程作业评讲(3)
重庆广播电视大学文法学院姚素芬。
第4章导数的应用。
一）单项选择题。
⒈若函数满足条件（d），则存在，使得．
a. 在内连续。
b. 在内可导。
c. 在内连续且可导’
d. 在内连续，在内可导。
⒉函数的单调增加区间是（d）．
ab. cd.
⒊函数在区间内满足（a）．
a. 先单调下降再单调上升 b. 单调下降。
c. 先单调上升再单调下降 d. 单调上升。
⒋函数满足的点，一定是的（c）．
a. 间断点b. 极值点。
c. 驻点d. 拐点。
设在内有连续的二阶导数，，若满足（ c ），则在取到极小值．
a. b.
c. d.
⒍设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ a ）．
a. 单调减少且是凸的b. 单调减少且是凹的。
c. 单调增加且是凸的d. 单调增加且是凹的。
⒎设函数在点处取得极大值，则（ 1 ）．
ab. cd.
二）填空题。
⒈设在内可导，，且当时，当时，则是的极小值点．
⒉若函数在点可导，且是的极值点，则 0
⒊函数的单调减少区间是．
⒋函数的单调增加区间是．
⒌若函数在内恒有，则在上的最大值是f(a) ．
⒍函数的拐点是 (0,2
⒎若点是函数的拐点，则 1 ，
三）计算题。
⒈求函数的单调区间和极值．
解： 得驻点：x= -1 x=5 x=
在内单调上升，在内单调下降。
极大值是极小值是。
求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值．
解： 得驻点x=1
又当x=0 x=2时无意义，但原函数连续。
f(0)=0 f(1)= 1 f(2)=0 f(3)=
最小值f(0)=f(2)=0 最大值是f(3)= 极大值f(1)=1 极小值f(2)=0
试确定函数中的，使函数图形过点和点，且是驻点，是拐点．
解：∵的图形过点和点，且是驻点，是拐点．
a=1b= -3
c= -24
d=16求曲线上的点，使其到点的距离最短．
解：设曲线上的点，即到a的距离记为d
则。（唯一）∴当时。
即点到（2，0）的距离最短。
圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：设圆柱体的底面半径为，高为，则。
时，圆柱体的体积最大。
一体积为v的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
解：设圆柱体的底面半径为，高为， 则。
当时，圆柱体的表面积最小。
欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底面正方形的边长为x米，长方体的高为h米，则容积 62.5=
表面积： x=5 (米)
时用料最省。
从面积为的所有矩形中，求其周长最小者．
解：设矩形的边长为x米，宽为y米，
周长。唯一驻点）
则当长为，宽为时，其周长最小x
从周长为的所有矩形中，求其面积最大者．
解：设矩形的边长为x米，宽为y米，
则面积。唯一驻点。
则当长为，宽为时，其面积最大x
四）证明题。
当时，证明不等式．
证明利用函数的单调性证明。
设 在内单调增加，当时，有。即 成立。
当时，证明不等式．
证明利用函数的单调性证明。
设 在内单调增加，当时，有。即 成立。
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