考点一：求导公式。
例1.是的导函数，则的值是。
解析：，所以。
答案：3点评：本题考查多项式的求导法则。
考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则。
解析：因为，所以，由切线过点，可得点m的纵坐标为，所以，所以。
答案：3例3.曲线在点处的切线方程是。
解析：，点处切线的斜率为，所以设切线方程为，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为：
答案： 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
题型二：利用导数几何意义求切线方程。
1．曲线在点处的切线方程是。
2．若曲线在p点处的切线平行于直线，则p点的坐标为 （1，0
3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为。
4．求下列直线的方程：
（1）曲线在p(-1,1)处的切线； （2）曲线过点p(3,5)的切线；
解：（1）所以切线方程为。
（2）显然点p（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、p(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线c：，直线，且直线与曲线c相切于点，求直线的方程及切点坐标。
解析：直线过原点，则。由点在曲线c上，则， 。又， 在处曲线c的切线斜率为， ，整理得：，解得：或（舍），此时，，。所以，直线的方程为，切点坐标是。
答案：直线的方程为，切点坐标是。
点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知在r上是减函数，求的取值范围。
解析：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。所以，当时，函数对为减函数。
1） 当时，。
由函数在r上的单调性，可知当是，函数对为减函数。
2） 当时，函数在r上存在增区间。所以，当时，函数在r上不是单调递减函数。
综合（1）（2）（3）可知。
答案： 点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例6. 设函数在及时取得极值。
1）求a、b的值；
2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
解析：（1），因为函数在及取得极值，则有，．即，解得，。
2）由（ⅰ）可知，，。
当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以 ，解得或，因此的取值范围为。
答案：（1），；2）。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：①求导数；
求的根；③将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。
考点六：函数的最值。
例7. 已知为实数，。求导数；（2）若，求在区间上的最大值和最小值。
解析：（1），
令，即，解得或， 则和在区间上随的变化情况如下表：
。所以，在区间上的最大值为，最小值为。
答案：（1）；（2）最大值为，最小值为。
点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数在区间上的极值，然后与和进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，，的值；
2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。
解析： （1）∵为奇函数，∴，即，∵的最小值为，∴，又直线的斜率为，因此，，∴
2）。 列表如下：
所以函数的单调增区间是和，∵，在上的最大值是，最小值是。
答案：（1），，2）最大值是，最小值是。
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。
强化训练。一） 选择题。
1. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ a ）
a．1b．2c．3d．4
2. 曲线在点（1，－1）处的切线方程为 （ b ）
a． b． c． d．
3. 函数在处的导数等于 （ d ）
a．1 b．2 c．3 d．4
4. 已知函数的解析式可能为 （ a ）
a． b．
c． d．
5. 函数，已知在时取得极值，则=（ d ）
a）2b）3c）4d）5
6. 函数是减函数的区间为( d )
7. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ a ）
8. 函数在区间上的最大值是（ a ）
abcd．
9. 函数的极大值为，极小值为，则为 （ a ）
a．0b．1c．2d．4
10. 三次函数在内是增函数，则 （ a ）
abcd．
11. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是d ）
a．3 b．2 c．1 d．0
12. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ a ）
a．1个b．2个
c．3个d． 4个。
二） 填空题。
13. 曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为。
14. 已知曲线，则过点“改为在点”的切线方程是。
15. 已知是对函数连续进行n次求导，若，对于任意，都有=0，则n的最少值为。
16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨．
三） 解答题。
17. 已知函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值．求这个极小值及的值．
18. 已知函数。
1）求的单调减区间；
2）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
19. 设，点p（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点p处有相同的切线。
1）用表示；
2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围。
20. 设函数，已知是奇函数。
1）求、的值。
2）求的单调区间与极值。
21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
22. 已知函数在区间，内各有一个极值点．
1）求的最大值；
1） 当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
强化训练答案：
四） 填空题。
五） 解答题。
17. 解：。
据题意，－1，3是方程的两个根，由韦达定理得。
∴，∴极小值。
极小值为－25，，。
18. 解：（1）令，解得。
所以函数的单调递减区间为。
2）因为 所以因为在（－1，3）上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在[－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值。于是有，解得。
故因此。即函数在区间上的最小值为－7.
19. 解：（1）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即。因为所以。
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以。
而。将代入上式得因此故，，
当时，函数单调递减。
由，若；若。
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则。
所以。又当时，函数在（－1，3）上单调递减。
所以的取值范围为。
20. 解：（1）∵，从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
2）由（ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
21. 解：设长方体的宽为（m），则长为(m)，高为。
故长方体的体积为。
从而令，解得（舍去）或，因此。当时，；当时，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。
从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为。
22. 解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
2）解法一：由知在点处的切线的方程是。
即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则。
不是的极值点．而，且。
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得。
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．当时，，当时，；
或当时，，当时，．设，则当时，，当时，；或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故．
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