正弦定理的证明

（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根据任意角三角函数的定义，有cd=,则。

同理可得。从而。

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

方法二）利用向量证明。

如图，在abc中，过点作一个单位向量，使。

当为钝角或直角时，同理可证上述结论。

从上面的研探过程，可得以下定理。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即。

理解定理]1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k

使，，；2）等价于，，

下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。

方法三）利用复数证明。

如图，如图2，建立平面直角坐标系．在复平面内，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点．

根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部．可以得出。

方法四）利用abc的外接圆证明ⅰ

如图，是abc的外接圆，设半径为，分别连结、、，过点作垂足为。

证明：方法五）利用abc的外接圆证明ⅱ

如图，是abc的外接圆，设半径为，连结并延长，交于点，连结。

证明：方法六）利用abc的高线证明。

如图，在abc中，过点作，垂足为。

证明：方法七）利用两角和的正弦公式证明。

如图，在abc中，过点作，垂足为。

此题还能这样入手：

以下过程同上。

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