活页作业(二) 余弦定理。
1．△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos b＝(
a． b．c． d．
解析：由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cos b＝＝＝
答案：b2．若△abc的内角a、b、c所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且c＝60°，则ab的值为( )
a． b．8－4
c．1 d．
解析：依题意得两式相减得ab＝.
答案：a3．在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角b的大小是( )
a．45° b．60°
c．90° d．135°
解析：因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cos b＝＝＝又0°＜b＜180°，所以c＝45°.
答案：a4．在△abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若》0，则△abc( )
a．一定是锐角三角形 b．一定是直角三角形。
c．一定是钝角三角形 d．是锐角或直角三角形。
解析：由题意知<0 ，即cos c<0. 因为0°答案：c
5．在△abc中，a，b，c分别是内角a、b、c的对边．若bsin a＝3csin b，a＝3，cos b＝，则b＝(
a．14 b．6
c． d．解析：bsin a＝3csin bab＝3bca＝3cc＝1，所以b2＝a2＋c2－2accos b＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故选d．
答案：d6．在△abc中，若a＝2，b＋c＝7，cos b＝－，则b
解析：由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.
答案：47．△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin a)，则a
解析：由余弦定理得。
a2＝b2＋c2－2bccos a＝2b2－2b2cos a，所以2b2(1－sin a)＝2b2(1－cos a)，所以sin a＝cos a，即tan a＝1，又0＜a＜π，所以a＝.
答案：8．在△abc中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则a
解析：∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.
cos a＝＝＝
0°＜a＜180°，∴a＝120°.
答案：120°
9．在△abc中，a＋c＝2b，a＋c＝8，ac＝15，求b.
解：方法一在△abc中，由a＋c＝2b，a＋b＋c＝180°，知b＝60°.
a＋c＝8，ac＝15，则a、c是方程x2－8x＋15＝0的两根．
解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5.
由余弦定理，得。
b2＝a2＋c2－2accos b＝9＋25－2×3×5×＝19.
b＝.方法二在△abc中，∵a＋c＝2b，a＋b＋c＝180°，∴b＝60°.
由余弦定理，得。
b2＝a2＋c2－2accos b＝(a＋c)2－2ac－2accos b＝82－2×15－2×15×＝19.
b＝.10．在△abc中，bc＝a，ac＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos (a＋b)＝1.求。
1)角c的度数；
2)ab的长度．
解：(1)cos c＝cos [πa＋b)]＝cos (a＋b)＝－又0°(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，所以。
所以由余弦定理得。
ab2＝ac2＋bc2－2ac·bccos c
b2＋a2－2abcos 120°
a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10.
所以ab＝.
11．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2a． b．
c． d．解析：∵a是不等边三角形的最大的边，∴a>.又a20.∴a< .故答案：c
12．在△abc中，若a＝7，b＝8，cos c＝，则最大角的余弦值为___
解析：c2＝a2＋b2－2abcos c＝72＋82－2×7×8×＝9.∴c＝3，因此最大角为b，由余弦定理，得cos b＝＝－
答案：－13．(2018·浙江卷)在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，a＝60°，则sin bc
解析：(1)如图，由正弦定理＝，得sin b＝·sin a＝×＝
2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos a，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案： 314．边长为的三角形中，最大角与最小角的和是。
解析：设中间角为θ，由于8>7>5，故θ的对边的长为7，由余弦定理，得cos θ＝所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.
答案：120°
15．在△abc中，c＝2a，a＋c＝10，cos a＝，求b.
解：由正弦定理得＝＝＝2cos a，＝.
又a＋c＝10，∴a＝4，c＝6.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos a，得＝，b＝4或b＝5.
当b＝4时，∵a＝4，∴a＝b.
又c＝2a，且a＋b＋c＝π，a＝，与已知cos a＝矛盾，不合题意，舍去．
当b＝5时，满足题意．
16．在△abc中，a、b、c分别是角a，b，c的对边，且＝－.
1)求b的大小；
2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．
解：(1)由余弦定理得。
cos b＝，cos c＝，原式化为·＝－整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，cos b＝＝＝又0(2)将b＝，a＋c＝4，b＝，代入b2＝a2＋c2－2accos b得，13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3.
正弦定理的证明
方法一 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 当abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根据任意角三角函数的定义，有cd 则。同理可得。从而。思考 是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。方法二 利用向量证明。如图，在abc中，过点作一个单位向量，使。...
勾股定理课时作业 2
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2 活页作业 第二章
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