第二部分：定理运用3
第三部分：构造函数基本方法9
一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系10
二、二阶导数与原函数之间关系11
第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型14
题型一：中值定理中关于θ的问题。
题型二：证明f(n)(ξ0
题型三：证明f(n)(ξc0(≠0)
题型四：结论中含一个中值ξ，不含a,b，导数的差距为一阶。
题型五：含两个中值ξ,η的问题。
题型六：含a,b及中值ξ的问题。
题型七：杂例。
题型八：二阶保号性问题。
题型九：中值定理证明不等式问题。
第一部分：中值定理结论总结。
1、介值定理。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=a及。
f(b)=b，那么对于a与b之间的任意一个数c，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得。
f(ξ)c(a<ξps:c是介于a、b之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值m，最小值。
m,若m≤c≤m,则必存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)c。闭区间上的连续函数必取得介于最大。
值m与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多）
ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数。
或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小。
值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、零点定理。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内。
至少存在一点ξ使得f(ξ)0.
ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.
3、罗尔定理。
如果函数f(x)满足：
1）、在闭区间[a,b]上连续；
2）、在开区间(a,b)内可导；
3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).
那么在(a,b)内至少有一点ξ(4、拉格朗日中值定理。
如果函数f(x)满足：
1）、在闭区间[a,b]上连续；
2）、在开区间(a,b)内可导；
那么在(a,b)内至少有一点ξ(f(b)-f(a)=f`(ξb-a).
5、柯西中值定理。
如果函数f(x)及g(x)满足。
1）、在闭区间[a,b]上连续；
2）、在开区间(a,b)内可导；
3）、对任一x(a那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得。
f(b)-f(a)
g(b)-g(a)
f`(ξg`(ξ
ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
6、积分中值定理。
若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]使得。ba
f(x)dx=f(ξ)b-a)
ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面。
我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至。
少存在一点ξ∈(a,b)使得。ba
f(x)dx=f(ξ)b-a)
证明：设f(x)=xa
f(x)dx，x∈[a,b]
因为f(x)在闭区间上连续，则f(x)在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即。
为f(x)）。
则对f(x)由拉格朗日中值定理有：
∈(a,b)使得f`(ξ
f(b)-f(a)b-ab
af(x)dx
b-a而f`(ξf(ξ)
所以ξ∈(a,b)使得。ba
f(x)dx=f(ξ)b-a)。
在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运。
用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用，因为。
课本给的定理是闭区间。
第二部分：定理运用。
1、设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且2f(0)=
f(x)dx=f(2)+f(3).
证明：(1)η∈0,2)使f(η)f(0)
2)ξ∈0,3)使f``(0
证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中。
值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法。
在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理。
证明其在开区间内符合。
1）、令。x
f(t)dt=f(x),x∈[0,2]则由题意可知f(x)在[0,2]上连续，,2)内可导。
则对f(x)由拉格朗日中值定理有：
∈(0,2)使f`(η
f(2)-f(0)
f(η)
f(t)dt
f(0),η0,2)
2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问。
的东西在第二问中进行运用：
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个。
等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。
第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了。
这样想法，就得往下寻找了，2f(0)=f(2)+f(3)，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：
f(x)在[0,3]上连续，则在[2,3]上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，分别设为m,m;
则m≤f(2)≤m,m≤f(3)≤m.
f(2)+f(3)
f(2)+f(3)
f(0)=f(η)f(c),η0,2),c∈[2,3]
则有罗尔定理可知：
1∈(0,η)f`(ξ1)=0，ξ2∈(ηc),f`(ξ2)=0
∈(ξ1,ξ2)(0,3),f``(0
ps：本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。
2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.
证明：(1)、ξ0,1)使得f(ξ)1-ξ
2)、两个不同点η、ξ0,1),使得f`(ξf`(η1
本题第一问较简单，用零点定理证明即可。
1）、首先构造函数：f(x)=f(x)+x-1,x∈[0,1]
f(0)=f(0)-1=-1
f(1)=f(1)=1
f(0)f(1)=-1<0
由零点定理知：ξ∈0,1)使得f(ξ)0,即f(ξ)1-ξ
2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问。
是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。在想想高数定理中的。
就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候。
就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没。
想法，便无从下手。另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1（你题目做多了，肯定。
就知道事实就是这样）.并且第一问中0与1之间夹了个ξ，如果我们在0与ξ，ξ与1上。
对f(x)运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：将第一问中f(ξ)代入即可。
f`(ηf`(ζ
f(ξ)f(0)
f(1)-f(ξ)
f`(ξf`(η1,η∈0,ξ)0,1),ζ1)(0,1)
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