例1 在正方体a1b1c1d1—abcd中，求证：对角线b1d⊥平面a1c1b．
证明如图1-108，连b1d1，dd1⊥平面a1b1c1d1
d1b1是db1在平面a1b1c1d1上的射影，又∵d1b1⊥a1c1(正方形对角线互相垂直)，据三垂线定理。
db1⊥a1c1
连ab1，同理可证，db1⊥a1b，∵a1c1与a1b相交，所以有db1⊥平面a1c1b．
评注熟练使用三垂线定理及其逆定理解题，不仅要求掌握它在水平平面上使用，而且要求学会在非水平放置的平面上使用．
例2 如图1-109，底面是等腰三角形，侧面都是矩形的几何体中，侧面对角线a1b⊥ac1．且a1c1=b1c1．求证：a1b⊥b1c
分析当证明a1b与b1c异面直线互相垂直，使我们联想到三垂线定理的功能，有如下证法．
证明在底面a1b1c1中，作c1d1⊥a1b1于d1，c1a1=c1b1，则a1d1=d1b1，又侧面都是矩形，有。
aa1∥bb1∥cc1
在下底面abc中，作cd⊥ab于d，则ad=db，同理得cd⊥面a1abb1
连d1a，b1d，显然d1a∥b1d
d1a是c1a在面a1abb1内的射影，又a1b⊥ac1(已知)，由三垂线定理的逆定理得a1b⊥d1a
d1a∥b1d，a1b⊥b1d
又b1d是b1c在面a1abb1内的射影，a1b⊥b1d，由三垂线定理，知b1c⊥a1b．
例3 图1-110，ma⊥平面abcd，四边形abcd是正方形，且ma=ab=a．试求：
1)点m到bd的距离；
2)求异面直线mb与ac所成的角．
解 )取正方形abcd对角线交点为o，连mo，ma⊥平面abcd(已知)
又∵ao⊥bd(正方形对角线互相垂直)
mo⊥bd(三垂线定理)
mo是点m到直线bd的距离．
2)如图1-111，延长da至d1使da=ad1，连接d1b，d1m，则有ac∥d1b，故△md1b是等边△，从而∠mbd1=60°即为所求异面直线mb与ac所成的角．
评注题(2)小题使用一种常用方法：“割补法”，通过作出ac的平行线d1b，得到了两条异面直线所成的角，使问题得以解决，应学会使用这种方法．
例4：如图，已知直棱柱中，，，是的中点。求证：
1．解：【法一】，又三棱柱是直三棱柱，所以面，连结，则是在面上的射影。
在四边形中，，且，
法二】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系。
由，易得，，，
所以。例5：如图，在棱长为2的正方体。
的中点，p为bb1的中点。
（i）求证：；
（ii）求证；
（iii）求异面直线所成角的大小。
分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。
2解法一：（i）连结bc1
由正方体的性质得bc1是bd1在。
平面bcc1b1内的射影，所以。
(ii)又，（iii）延长。
由于正方体的棱长为2，即异面直线所成角的大小为arccos.
解法二：（i）如图建立空间直角坐标系。
则b（2，2，0），c（0，2，0）
b1（2，2，2），d1（0，0，2）.
3分。（ii），（iii），即异面直线所成角的大小为arccso
例6：如图，在矩形中，，，沿对角线将折起，使点移到点，且在平面上的射影恰好在上。
1）求证：面；
2）求点到平面的距离；
3）求直线与平面的成角的大小。
3．解：（1）在平面上的射影在上，面。
故斜线在平面上的射影为。
又，，又，
面。2）过作，交于。
面，，面故的长就是点到平面的距离。
面 在中，；
在中， 在中，由面积关系，得。
3）连结，面，是在平面的射影。
为直线与平面所成的角。
在中，， 例7： 在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，侧棱pa垂直于底面，e、f分别是ab、pc的中点．
（1）求证：平面pad；
（2）当平面pcd与平面abcd成多大二面角时，
直线平面pcd？
4．证：（1）取cd中点g，连结eg、fg
e、f分别是ab、pc的中点，∴eg//ad，fg//pd，平面efg//平面pad， ef//平面pad．
2）当平面pcd与平面abcd成45角时，直线ef平面pcd.
证明：∵g为cd中点，则egcd，∵pa底面abcd∴ad是pd在平面abcd内的射影。 ∵cd平面abcd，且cdad，故cdpd ．又∵fg∥pd∴fgcd，故egf为平面pcd 与平面abcd所成二面角的平面角，即egf=45，从而得adp=45， ad=ap.
由rtpaertcbe，得pe=ce.又f是pc的中点，∴efpc.
由cdeg，cdfg，得cd平面efg，∴cdef，即efcd，故ef平面pcd．
例8：已知，在如图所示的几何体abced中，ec⊥面abc，db⊥面abc，ce=ca=cb=2db，∠acb=90°，m为ad的中点。
（1）证明：em⊥ab；
（2）求直线bm和平面ade所成角的大小。
5．解法一：
（1）如图，以c为原点，ca、cb、ce所在的射线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。
不妨设bd=1，则e（0，0，2），a（2，0，0），d（0，2，1），b（0，2，0）
由m是ad的中点，得m
设面ade的法向量n=（x，y，z）由。又。
直线bm和平面ade所成角为。
解法二：1）如图，过m作mn⊥ab，由db⊥面abc……2分。
m是ad中点，n是ab中点，ca=cb，cn⊥ab
由三垂线定理，得em⊥ab
2）设cb和ed延长线交于f，不妨设bd=1
易求。设b到面aef的距离为h，由。
设直线bm和平面ade所成角为。
例9. 如图，四边形abcd是正方形，pb⊥平面abcd，ma//pb，pb=ab=2ma，（ⅰ证明：ac//平面pmd；
（ⅱ）求直线bd与平面pcd所成的角的大小；
6.（ⅰ证明：如图1，取pd的中点e，连eo，em。
eo//pb，eo=pb，ma//pb，ma=pb，eo//ma，且eo=ma
四边形maoe是平行四边形，me//ac 。
又∵ac平面pmd，me平面pmd，ac//平面pmd 。
ⅱ）如图1，pb⊥平面abcd，cd平面abcd， ∴cd⊥pb。
又∵cd⊥bc， ∴cd⊥平面pbc。
cd平面pcd， ∴平面pbc⊥平面pcd。
过b作bf⊥pc于f，则bf⊥平面pdc，连df，则df为bd在平面pcd上的射影。
∠bdf是直线bd与平面pdc所成的角。
不妨设ab=2，则在rt△bfd中，， bdf=
直线bd与平面pcd所成的角是
立体几何第一课时
第一课时。例1.一个几何体的三视图如下左图所示，其中正视图中 abc是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 abc 1 d 2 例2 如图，设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为。例3 如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若...
立体几何第一课时
2015届高三数学 理 第二轮复习 专题四立体几何。第一课时三视图 表面积 体积。考点分析。一 最近几年高考多以三视图的形式来求几何体的表面积或体积。做这类题注意 正侧同高 几何体高 正俯同长，侧俯同宽 二 了解和会应用柱体 锥体 台体的表面积体积的计算公式。客观题三视图 表面积 体积。1.一个四棱...
专练2 立体几何 第2课时 立体几何的证明
专题二 立体几何 第2课时 一 完美破解立体几何证明题 空间角的计算。内容精要 立体几何中的题目最主要的两点就是证明和计算，其中证明主要是来证明空间中的点 线 面间的平行或垂直关系 计算主要是空间角的计算包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在 掌握...