第一讲三角形专题（一）
基本图形1】如图，求证：∠a +∠d =∠c +∠b．
**1】（1）如图1，已知∠b = 60°，则∠a +∠b +∠c +∠d +∠e
2）如图2，则∠a +∠b +∠c +∠d +∠e +∠f
3）如图3，则∠a +∠b +∠c +∠d +∠e
基本图形2】如图，求证：∠a+∠d+∠b =∠bcd．
**2】（1）如图1，则∠a +∠b +∠c +∠d +∠e +∠f
2）如图2，则∠a +∠b +∠c +∠d +∠e +∠f
3）如图3，则∠a +∠b +∠c +∠d +∠e
例题讲解】例1】已知△abc中，∠cab >∠cba，cd平分∠acb，e为直线ab上一点，过e作ed垂直于cd，垂足为d．
1）当e与a重合时，如图1，求证：∠bed =(cab -∠cba )；
2）当e在ab延长线上时，如图2，（1）中的结论是否仍成立，请你给出证明．
例2】已知△abc中，∠abc = n∠dbc，∠acb = n∠bce，bd与ce交于点m．
1）如图1，当n = 2时，求证：；
2）如图2，当n = 3时，过m作mn⊥bc于n，试**：∠nmc -∠mbn与∠a的数量关系；
3）如图3，在（2）的条件下，若∠bec = 130°，∠bcc = 110°，∠bdc直接写出答案）．
例3】如图1，△abc中ad、ae分别为高、角平分线，f在bc的延长线上，过f作fg⊥ae于g且交ab于h．
1）求证：∠dae =∠f；
2）求证：2∠dae =∠acb -∠b；
3）△abc中，若∠acb为钝角，其它条件不变，如图2，请画出图形并直接写出∠dae、∠acb、∠b之间的数量关系．
例4】如图1，一个直角⊿abc的木框和一个端点为o且可任意调整角度的角尺，其中∠acb = 90°，a =
1）如图2，调整角尺，使角尺的一边od垂直于ab，另一边oe经过直角顶点c，与ab交于e点，若∠doe = 45°，α30°，求∠bce的度数；
2）如图3，使角尺的一边od⊥边ab，另一边oe搭在直角边ac上，调整此时的角度，使∠doe =∠a，延长bc交oe于f，作fg平分∠cfe交ac于g，请判断此时fg与ab的位置关系，并证明你的结论；
3）如图4，使角尺的两边分别与⊿abc的两边垂直，即od⊥ac于d，oe⊥ab交ba的延长线于e，∠doe与∠acb的平分线交于点p，是否存在一个α，使∠p = 若存在，请求出α的值，若不存在，请说明理由．
家庭作业】1．已知d、e分别为△abc的边ab、ac上的点，de∥bc，dn、cn分别为∠ade和∠acf的平分线，bm、em分别为∠gbc和∠dec的平分线．
1）判断bm与dn的位置关系并证明；
2）求证：∠m +∠n = 90°．
2．平面内，四条线段ab、bc、cd、da首尾顺次相接，∠abc =24°，∠adc = 42°．
1）∠bad和∠bcd的角平分线交于点m（如图1），求∠amc的大小；
2）点e在ba的延长线上，∠dae的平分线和∠bcd的平分线交于点n（如图2），则∠anc
3．如图，△abc中，ac⊥bc,cd是高，△abc的角平分线ae交cd于f．
1）请比较∠cef与∠cfe的大小，并证明你的结论；
2）若“△abc的角平分线ae改为△abc的外角平分线ae”，其它条件不变，∠cef与∠cfe的大小关系如何？请画出图形并予以判断（不要求证明过程）．
第二讲三角形专题（二）
例题讲解】例1】已知在平面直角坐标系中，m、n分别为轴、轴上的两个动点，m在原点的左侧，n在原点的上方．
1）如图1，射线mo、no平分∠bmc、∠dnc，∠bmc与∠dnc的各边分别交于a、b、c、d，试判断∠bad、∠c之间有何确定的数量关系？证明你的结论；
2）如图2，nd平分∠mno，nd交轴于e，∠，且∠mfe = 11．25°，求n的值．
例2】已知p为第四象限一动点，q为x轴负半轴上一动点，r在pq下方且为y轴负半轴上一动点．
1）如图1，若p（2，－1），q（－3，0），r（0，－5），求s△pqr；
2）如图2，若rm、qm分别平分∠pro，∠pqo，p、q、r在运动过程中，∠p、∠m是否存在确定的数量关系，若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；
3）若将r点改为y轴正半轴上一动点，且在p、q及（2）中的条件不变的前提下，如图3，∠p、∠m又有何数量关系？（写出结论，不证明）
例3】已知平面直角坐标系中，直线mn交x轴于点a（a，0），交y轴于点b（0．b）．
1）若，求a、b两点的坐标；
2）如图1，过g点作ge⊥ae，gh平分∠oge，求证：∠1=∠2；
3）如图2，bc∥x轴，且∠bac =∠bca，d为ca延长线上一点，且∠doy =∠aby，当a点在x轴正半轴上运动时，∠d的度数是否发生变化？若不变求其值；若变化，说明理由．
例4】已知a（0，m），点c在x轴负半轴上，且有(-2m -5n + 3)2 +︱n-3︱= 0．
1)若，求点c的坐标：
2）如图1，将c点向上平移，使co平分∠acb，点p是y轴b点上方的一动点，pq⊥oc于点q，当∠abc =∠bac + 54°时，求∠apq的度数．
3）如图2，在（2）的条件下，将线段ac平移，使其经过p点得线段ef，作∠ape的角平分线交oc的延长线与点m，当p在y轴上运动时，∠m -∠bac的值是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．
例5】如图，已知：在平面直角坐标系中，，，0，＞0．
（1）如图1，若点在轴上，且有，△的面积为18，求点的坐标；
（2） 如图2，若点在第一象限运动，交轴点，的延长线交轴于点，点为点关于轴的对称点，的延长线交于点．
①当∠=∠70°时，求∠的度数；
②如图3，将线段平移，使其经过点得线段，过的直线交轴于，交延长线于点，当满足∠=∠时，求的值．
家庭作业】1．在平面直角坐标系中，a（0，1），b（4，1），c为x轴正半轴上一点且ac平分∠oab．
1）求证：∠oac=∠oca；
2）若分别作∠aoc的三等分线及∠oca的外角的三等分线交于p，即满足∠poc=∠aoc，pce=∠ace，求∠p的大小；
3）在（2）中，若射线op、cp满足∠poc =∠aoc，∠pce =∠ace，猜想∠opc的大小，并。
证明你的结论（用含n的式子表示）．
2．如图，在平面直角坐标系中，△aob是直角三角形，∠aob=90°，斜边ab与y轴交于点c．
1）若∠a=∠aoc，求证：∠b=∠boc；
2）延长ab交x轴于点e，过o作od⊥ab，且∠dob=∠eob，∠oae=∠oea，求∠a的度数；
3）如图，of平分∠aom，∠bco的平分线交fo的延长线于点p．当△abo绕o点旋转时（斜边ab与y轴正半轴始终相交于点c），在（2）的条件下，试问∠p的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
第三讲等腰直角三角形专题。
例题讲解】例1】如图，△abc中，∠a = 90°，ab = ac，过a在△abc外任作直线，be⊥于e，cf⊥于f．
1）求证：ef = be + cf；
2）若为经过△abc内部的一条直线，其它条件不变，①中的结论是否成立？
例2】已知：如图，de为过等腰△abc锐角顶点a的任意直线，cd⊥de于d，be⊥de于e．
1）若点d在△abc内部（如图1），求证：cd + be = ad；
2）若点d在△abc外部（如图2），其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
练】如图，△abc中，∠acb = 90°，ac = bc，若直线l过顶点a，bm⊥l于m，cn⊥l于n．
求证：bm + cn = an．
八年级数学培优讲义
三角形全等之类比 讲义 知识点睛。1.类比 是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形 或由简单情形到复杂情形 逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主 2.解决类比 问题的一般方法 1 根据题干条件，结合先解决第一问 2 用解决 的方法类比解决下一问，整体框架照搬 ...
八年级数学培优教材讲义
一 经典题型。1.如图，矩形abcd的边分别与两坐标轴平行，对角线ac经过坐标原点，点d在反比例函数 的图象上 若点b的坐标为 则的值为 d ab c 或d 或 2.如图，mon 90 矩形abcd的顶点a b分别在边om，on上，当b在边on上运动时，a随之在边om上运动，矩形abcd的形状保持不...
八年级数学培优讲义 下册
第十六章分式。测试1 从分数到分式。学习要求。掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0 为1的条件 课堂学习检测。一 填空题。1 用a b表示两个整式，a b就可以表示成 的形式，如果除式b中 该分式的分式 2 把下列各式写成分式的形式 1 5 xy为2 3x 2y x 3y 为 3 甲每小时做...