【综合复习2】
1、如图，已知二次函数y＝x 2－2x－1的图象的顶点为a，二次函数y＝ax 2＋bx的图象与x轴交于原点o及另一点c，它的顶点b在函数y＝x 2－2x－1的图象的对称轴上．
1）求点a与点c的坐标；（2）当四边形aobc为菱形时，求函数y＝ax 2＋bx的关系式．
2、如图，在平面直角坐标系中，点a（，0），b（，2），c（0，2）．动点d以每秒1个单位的速度从点o出发沿oc向终点c运动，同时动点e以每秒2个单位的速度从点a出发沿ab向终点b运动．过点e作ef⊥ab，交bc于点f，连结da、df．设运动时间为t秒．（1）求∠abc的度数；（2）当t为何值时，ab∥df；（3）设四边形aefd的面积为s．
求s关于t的函数关系式；②若一抛物线y＝－x 2＋mx经过动点e，当s＜2时，求m的取值范围（写出答案即可）．
3、如图，在平面直角坐标系中，点a的坐标为（2，2），点p是线段oa上的一个动点（不与o，a重合），过点p作pq⊥x轴于q，以pq为边向右作正方形pqmn．连接an并延长交x轴于点b，连接on．设oq＝t．（1）求证：oq＝qm；
2）求线段bm的长（用含t的代数式表示）；
3）△bmn与△mon能否相似？若能，求出此时△bmn的面积；若不能，请说明理由．
4、已知在平面直角坐标系中，四边形oabc是矩形，点a，c的坐标分别为a（3，0），c（0，4），点d的坐标为d（－5，0），点p是直线ac上的一动点，直线dp与轴交于点m．问：（1）当点p运动到何位置时，直线dp平分矩形oabc的面积，并求出此时直线dp的函数解析式；（2）当点p沿直线ac移动时，是否存在使△dom与△abc相似的点m，若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由；
5、如图，矩形abcd中，ab=8，bc=10，点p在矩形的边dc上由d向c运动．沿直线ap翻折△adp，形成如下四种情形，设dp=x，△adp和矩形重叠部分（阴影）的面积为y。
1）如图丁，当点p运动到与c重合时，求重叠部分的面积y；
2）如图乙，当点p运动到何处时，翻折△adp后，点d恰好落在bc边上？这时重叠部分的面积y等于多少？
3）阅读材料：已知锐角a≠45°，tan2a是角2a的正切值，它可以用角a 的正切值tana来表示，即。
根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围。（提示：在图丙中可设∠dap=a）
6、如图，在平面直角坐标系中，点a，c分别在轴，轴上，四边形abco为矩形，ab=16，点d与点a关于轴对称，tan∠acb=，点e，f分别是线段ad，ac上的动点（点e不与点a，d重合），且∠cef=∠acb。（1）求ac的长和点d的坐标；（2）说明△aef与△dce相似；
3）当△efc为等腰三角形时，求点e的坐标。
答案】1、解：（1）y=x2-2x-1=(x-1)2-2，所以顶点a的坐标为（1，-2）
因为二次函数y=ax2+bx的图像经过原点，且它的顶点在二次函数y=x2-2x-1的图像的对称轴l上。
所以点c和点o关于直线l对称，所以点c的坐标为（2，0）
2）因为四边形aobc是菱形，所以点b和点a关于直线oc对称，因此，点b的坐标是（1，2）
因为二次函数y=ax2+bx的图像经过b（1，2）c（2，0）
所以解得所以二次函数y=ax2+bx的关系式是y= -2x2+4x。
2、解：（1）过点b作bm⊥x轴于点m
c（0，2），b（3，2），∴bc∥oa
∠abc=∠bam，∵bm=2，am=2
tan∠bam=，∴abc=∠bam=30°．
2）∵ab∥df，∴∠cfd=∠cba=30°
在rt△dcf中，cd=2-t，∠cfd=30°，∴cf=（2-t），∴ab=4，be=4-2t，∠fbe=30°，∴bf=，∴2-t）+=t=．
3）①过点e作eg⊥x轴于点g，则eg=t，og=+t，∴e（+t，t）
de∥x轴，s=s△def+s△dea=de×cd+de×od=×oc=×（2=+t．
当s时，由①可知，s=+t,∴t+＜2，∴t＜1，∵t＞0，∴0＜t＜1，y=-x2+mx，点e（+t，t）在抛物线上，当t=0时，e（，0），∴m=，当t=1时，e（2，），m=，∴m＜．
4、解：（1）连结bo与ac交于点h，则当点p运动到点h时，直线dp平分矩形oabc的面积，理由如下：
矩形是中心对称图形，且点h为矩形的对称中心，又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线dp过矩形oabc的对称中心点h，所以直线dp平分矩形oabc的面积，由已知可得此时点的坐标为，设直线的函数解析式为y=kx+b，则有，解得，所以，直线dp的函数解析式为：；
2）存在点使得与相似，如图，不妨设直线dp与y轴的正半轴交于点m（0，），因为∠dom=∠abc，若△dom与△abc相似，则有或，当时，即，解得，所以点m1（0，）满足条件，当时，即，解得，所以点满足条件，由对称性知，点也满足条件，综上所述，满足使与相似的点有3个，分别为、；
5、：（1）由题意可得∠dac=∠d′ac=∠ace，∴ae=ce，设ae=ce=m，则be=10-m，在rt△abe中，得m2=82+（10-m）2，m=8.2，重叠部分的面积y=·ce·ab=×8.
2×8=32.8（平方单位）；
2）由题意可得△dap≌△d′ap， ∴ad′=ad=10，pd′=dp=x，在rt△abd′中，ab=8，∴bd′==6，于是cd′=4，在rt△pcd′中，由x2=42+（8-x）2，得x=5，此时y=·ad·dp=×10×5=25（平方单位），表明当dp=5时，点d恰好落在bc边上，这时y=25；
3）由（2）知，dp=5是甲、丙两种情形的分界点，当0≤x≤5时，由图甲知y=s△ad′p=s△adp=·ad·dp=5x，当5＜x＜8时，如图丙，设∠dap=a，则∠aeb=2a，∠fpc=2a，在rt△adp中，得tana=，根据阅读材料，得tan2a=，在rt△abe中，有be=ab∕tan2a==，同理，在rt△pcf中，有cf=（8-x）tan2a=，abe的面积s△abe=·ab·be=×8×=，pcf的面积 s△pcf=·pc·cf=（8-x）×=而直角梯形abcp的面积为
s梯形abcp=（pc+ab）×bc=（8-x+8）×10=80-5x，故重叠部分的面积y=s梯形abcp-s△abe-s△pcf=80-5x--
经验证，当x=8时，y=32.8适合上式，综上所述，当0≤x≤5时，y=5x；当5＜x≤8时，y=80-5x--。
6、解：（1）∵四边形abco为矩形，∴∠b=90°，在rt△abc中，bc=ab÷tan∠acb=16÷=12，则ao=bc=12， a（-12，0），点d与点a关于轴对称，∴d（12，0）；
2）∠afe是△cef的外角，∴∠afe=∠fce+∠cef，∠cef=∠acb，∴∠afe=∠fce+∠acb=∠bce，bc∥ad， ∴bce=∠dec，∴∠afe=∠dec①，点a与点d关于轴对称，而c，o在对称轴上，△aco与△dco关于轴对称，∴∠fae=∠edc②，由①，②得△aef∽△dce；
3）当fe=ec时，△efc为等腰三角形，由（2），△aef∽△dce，∴fe:ec=ae:dc，此时，ae=dc=ac==20，则e（8，0）；
当cf=ce时，∠cfe=∠cef=∠acb，则有ef∥bc，此时，点f与a重合，则点e在d处，与已知矛盾；
当cf=fe时，∠fce=∠cef，又∵△aef∽△dce，∴∠aef=∠dce∴∠fce+∠dce =∠cef+∠aef，即∠acd=∠aec， 而∠cae=∠dac，∴△aec∽△acd，ae:ac=ac:ad，而ad=18，∴ae=则e（，0），当△efc为等腰三角形时，求点e的坐标为（8，0）或（，0）。
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