3.1 一元二次方程。
一、复习引入。
列方程．：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为___尺，根据题意，得___
整理、化简，得。
问题（2）如图，如果，那么点c叫做线段ab的**分割点．
如果假设ab=1，ac=x，那么bc根据题意，得。
整理得。问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是___宽是___根据题意，得：__
整理，得。二、探索新知。
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．练习：（x+1）2+（x-2）（x+2）=1
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
一、选择题。
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
a．2，3，-6 b．2，-3，18 c．2，-3，6 d．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
a．p=1 b．p>0 c．p≠0 d．p为任意实数。
二、填空题。
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为___一次项系数为常数项为。
2．一元二次方程的一般形式是。
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是___
三、综合提高题。
1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：所以，__第二步：
所以，__1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为___十分位为___
第二课时．问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？
设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为。
整理，得。列表：
问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为___m．
根据题意，得___
整理，得___
列表：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
2）完成下表：
（3）你知道铁片的长x是多少吗？
一、选择题。
1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）
a．x1=0，x2=1 b．x1=0，x2=-1 c．x1=1，x2=2 d．x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）
a．x1=b，x2=a b．x1=b，x2= c．x1=a，x2= d．x1=a2，x2=b2
3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（
a．1 b．-1 c．0 d．2
二、填空题。
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1x2
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为___
3．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=__x2
三、综合提高题。
1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（）2-2x+1=0，令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．
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