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1．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．
ⅰ）若点是的中点，求证：平面；
ⅱ）若点**段上，且，当三棱锥的体积为时，求实数的值．
答案】（ⅰ证明见解析；（ⅱ
解析】试题分析：（ⅰ将证明线面平行转化为线线平行，通过做辅助线可证明出//，线面平行的判定定理可证出平面；（ⅱ如图所示作辅助线，通过题意可先分将问题转化为求，由面面垂直的性质定理得平面，进而平面，得到平面，故，进而确定，再由。
试题解析：（ⅰ如图，连接，设，又点是的中点，则在中，中位线3分。
又平面，平面．
所以平面 5分。
ⅱ）依据题意可得：，取中点，所以，且。
又平面平面，则平面6分。
作于上一点，则平面，因为四边形是矩形，所以平面，则为直角三角形 8分。
所以，则直角三角形的面积为
10分。由得12分。
考点：1、线面平行问题与线线平行问题的互化；2、面面垂直与线面垂直问题的互化；3、综合分析能力．
2．（本小题满分12分）如图几何体中，四边形abcd为矩形， ,g为fc的中点，m为线段cd上的一点，且。
ⅰ）证明：af//面bdg；
ⅱ）证明：面面bfc；
ⅲ）求三棱锥的体积v.
答案】（ⅰ证明见解析；（ⅲ三棱锥的体积为。
解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键。
（3）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算。
试题解析：（ⅰ连接交于点，则为的中点，连接，因为点为中点，所以为的中位线，所以， 2分。
面，面，面5分。
ⅱ）连接，，为的中点，为矩形， 7分。
又，为平行四边形， 8分。
为正三角形，面，面，面面10分。
ⅲ）,因为，,所以，所以12分。
考点：（1）线面平行的判定；（2）面面垂直；（3）几何体的体积。
3．（本小题满分12分）如图，为圆o的直径，是圆上不同于，的动点，四边形为矩形，且，平面平面。
1）求证： 平面。
2）当点在的什么位置时，四棱锥的体积为。
答案】（1）详见解析 （2）点在满足或时，四棱锥。
的体积为。解析】
试题分析：第（1）问先证明线线垂直，再证明线面垂直；第（2）问探求点在的什么位置时，四棱锥的体积为，从研究的大小着手思考，通过体积建立关系求出的大小．
试题解析：（1）因为四边形为矩形，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面，而平面，所以．
又因为为圆的直径，是圆上不同于，的动点，所以．
因为，所以平面。
2）因为平面平面，过点作交于点，则平面。
在中，记（），因为，所以，所以．
由已知，所以，即．
因为，所以，即；
或，即．于是点在满足或时，四棱锥。
的体积为。考点：立体几何中的线面关系和四棱锥体积．
4．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点，且交于点。
ⅰ)求证：平面平面；
ⅱ)求二面角的余弦值。
答案】（ⅰ详见解析；（ⅱ
解析】试题分析：方法1：(ⅰ底面，又底面是正方形， 平面， 又，是的中点，面 ，然后再根据线面垂直的判定定理，即可得出结果。
(ⅱ取的中点，则。作于，连结。 底面， 底面 , 为二面角的平面角，解三角形即可求出结果。
解法2:(ⅰ如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量在立体几何中的应用，即可求出结果。
试题解析：证明(ⅰ)底面，
又底面是正方形，
平面， 又，是的中点，面
由已知， 平面。
又面，面面 6分。
ⅱ)取的中点，则。
作于，连结。
底面， 底面 ,
为二面角的平面角
设，在中，
11分。所以二面角的余弦值为 12分。
解法2:(ⅰ如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由于，可设， 则 ,3分。 4分。
又且平面。又平面
所以，平面平面 6分。
ⅱ)底面是平面的一个法向量， 7分。
设平面的一个法向量为，
则得 9分
11分。二面角的余弦值是 12分。
考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的判定。
5．（本小题满分13分）
如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，d是棱的中点。
1）证明：平面；
2）若，求三棱锥的体积。
答案】（1）见解析 （2）
解析】试题分析：对应第一问，关键是要掌握线面垂直的判定，把握线线垂直的证明方法，第二问注意椎体的体积公式的应用。
试题解析：（1）由题设知，平面2分）
又∵平面，∴.3分）
由题设知，∴，即。 （4分），∴平面6分）
2） ∵d是棱的中点，
7分）9分）
的面积10分）
11分），即三棱锥的体积为13分）
考点：线面垂直的判定，椎体的体积。
6．（本题满分12分）
在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面， ，点是的中点，作交于。
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的大小。
答案】（ⅰ详见解析；（ⅱ详见解析；（ⅲ
解析】试题分析：（ⅰ连结，与交于。由中位线可得∥.
根据线面平行的判定定理可证得∥平面。（ⅱ由底面可证得，又因为是正方形，根据线面垂直判定定理可证得平面，从而可得。根据等腰三角形中线即为高线可得，根据线面垂直判定定理可证得平面，从而可得又可得平面。
（ⅲ以点为坐标原点建立空间直角坐标系。 设，可得各点的坐标，从而可得各向量坐标。根据向量垂直数量积为0可得面和面的法向量。
根据数量积公式可得两法向量夹角的余弦值，可得两法向量夹角。 两法向量夹角与二面角相等或互补。由观察可知所求二面角为锐角。
试题解析：解：（ⅰ连结，与交于，是正方形，∴则为的中点。
是的中点，∥
平面，平面。
∥平面 3分。
ⅱ）∵底面，平面，
平面 4分。
平面，是的中点，
平面6分。而平面，又，
平面8分。ⅲ）如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设。
则 9分。设平面的法向量是，则，所以，，即10分。
设平面的法向量是，则。
所以，，即11分。
即面角的大小为。 12分。
考点：1线面平行；2线面垂直；3空间向量法解决立体几何问题。
7．如图，一简单几何体的一个面内接于圆，分别是的中点，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面。
1）求证：∥平面；
2）若，,试求该几何体的v.
答案】（1）证明见解析；（2）.
解析】试题分析：（1）证明线面垂直需通过证明面面垂直，根据题意分别是的中点，连接，利用三角形的中位线性质，易证：平面∥平面；（2）方法一：
将所求几何体分割为两个三棱锥，同时三棱锥的底面积为，高为，三棱锥的底面积为和高，进而求得两个三棱锥的体积，进而求得所求三棱锥的体积：；方法二：所求体积为四棱锥，根据题意底面积为矩形的面积，高为，利用椎体的体积公式得到所求。
试题解析：（1）证明：连结
平面平面，又交于。
平面平面。平面。
2）法一：∵
法二：∵平面 ∴
又∵ ∴平面。
考点：1.直线和平面平行的判定定理；2.椎体的体积。
8．（本小题共14分）如图，将矩形abcd沿对角线bd把△abd折起，使a点移到点，且在平面bcd上的射影o恰好在cd上。
1）求证：bc⊥；
2）求证：平面⊥平面；
3）若ab=10，bc=6，求三棱锥的体积。
答案】（1）、（2）详见解析；（3）.
解析】试题分析：（1）由题意可知⊥平面bcd，所以bc⊥，又由已知可知，由线面垂直的判定定理可得平面，所以；（2）欲证平面⊥平面，需证，又因为⊥.由（1）知bc⊥，所以；
3）转换顶点可得，代入计算即可。
试题解析：（1）因为在平面上的射影o在cd上，所以⊥平面bcd.
又bc平面bcd，所以bc⊥.
又bc⊥co，co，平面， 平面，所以bc⊥平面。
又平面，所以。（5分）
2）因为矩形abcd，所以⊥.
由（1）知bc⊥.
又平面，所以。
又，所以平面。（10分）
3）因为，所以。
因为cd=10，，所以。
所以。（14分）
考点：空间线线垂直、线面垂直的判定性质，多面体体积。
9．如图，四棱柱的底面为菱形，，交于点，平面，，．
1）证明：平面；
2）求三棱锥的体积．
答案】（1）见解析；（2）
解析】试题分析：（1）证明：因为四边形abcd为菱形，所以ac⊥bd，又因为平面abcd，所以。因为，所以平面，所以2分。
由已知，，又，所以，所以，所以，因为，所以4分。
因为，所以平面6分。
2）连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以， 8分。
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