试题类型：直线与圆。
试题**：2023年高考全国卷理科第13题。
若变量满足约束条件则的最小值为 .
答案：-6试题类型：直线与圆。
试题**：2023年高考江西卷理科第9题5分。
1） 若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是 (
a. b. c. d.
答案：b 曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，m的取值范围应是。
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考全国卷理科第7题。
设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a ,b两点，为c的实轴长的2倍，则c的离心率为。
a. bc.2d.3
答案：选b试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考全国卷理科第14题。
在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线l交c于两点，且的周长为16，那么的方程为 .
答案： 试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考全国卷理科第20题。
在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,-1)，b点在直线y = 3上，m点满足，，m点的轨迹为曲线c。
ⅰ）求c的方程；
ⅱ）p为c上的动点，l为c在p点处得切线，求o点到l距离的最小值。
解：(ⅰ设m(x,y),由已知得b(x,-3),a(0,-1).
所以=（-x,-1-y）, 0,-3-y), x,-2).
再由题意可知（+）0, 即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.
所以曲线c的方程式为y=x-2.
ⅱ)设p(x,y)为曲线c：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的方程为，即。
则o点到的距离。又，所以。
当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考辽宁卷理科第3题5分。
已知f是抛物线y2=x的焦点，a,b是该抛物线上的两点，，则线段ab的中点到y轴的距离为。
ab. 1 cd.
答案：选c试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考辽宁卷理科第13题5分。
已知点（2,3）在双曲线c：（a＞0，b＞0）上，c的焦距为4，则它的离心率为。
答案：2试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考辽宁卷理科第20题12分。
如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点在轴上，椭圆的短轴为，且的离心率都为，直线，与交于两点，与交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为。
i）设，求与的比值；
ii）当变化时，是否存在直线，使得∥，并说明理由。
解：（i）因为c1，c2的离心率相同，故依题意可设。
设直线，分别与c1，c2的方程联立，求得。
………4分。
当表示a，b的纵坐标，可知。
………6分。
（ii）t=0时的l不符合题意。时，bo//an当且仅当bo的斜率kbo与an的斜率kan相等，即。
解得。因为。
所以当时，不存在直线l，使得bo//an；
当时，存在直线l使得bo//an12分。
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考安徽卷理科第2题5分。
双曲线的实轴长是。
a.2b. c. 4d. 4
答案：选c命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质。属容易题。
解析】可变形为，则，，.故选c.
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考安徽卷理科第15题5分。
在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是。
___写出所有正确命题的编号）.
存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点。
如果与都是无理数，则直线不经过任何整点。
直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点。
直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数。
存在恰经过一个整点的直线。
答案：①③命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力。难度较大。
解析】令满足①，故①正确；若，过整点（－1,0），所以②错误；设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有，，两式相减得，则点也在直线上，通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立，所以③正确；与都是有理数，直线不一定经过整点，④错误；直线恰过一个整点，⑤正确。
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考安徽卷理科第21题13分。
设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足，求点的轨迹方程。
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考北京卷理科第14题5分。
曲线c是平面内与两个定点f1（-1，0）和f2（1，0）的距离的积等于常数 a2 (a >1)的点的轨迹。给出下列三个结论：
曲线c过坐标原点；
曲线c关于坐标原点对称；
若点p在曲线c上，则△fpf的面积大于a。
其中，所有正确结论的序号是。
答案】②③解析】：①曲线经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么，与条件不符；②曲线关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处关于原点的对称点处也一定符合 ③三角形的面积=
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考北京卷理科第19题14分。
已知椭圆。过点（m,0）作圆的切线l交椭圆g于a，b两点。
i）求椭圆g的焦点坐标和离心率；
ii）将表示为m的函数，并求的最大值。
解析】：：由已知得所以所以椭圆的焦点坐标为，离心率为
ⅱ）（由题意知，.当时，切线l的方程，点a、b的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得。
当时，设切线l的方程为由。
设a、b两点的坐标分别为，则又由l与圆所以。
由于当时，
所以。因为。
且当时，|ab|=2，所以|ab|的最大值为2
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考天津卷理科第11题5分。
已知抛物线的参数方程为(为参数）．若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则 ．
解】．抛物线的普通方程为，其焦点为．
直线方程为．
因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即。
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考天津卷理科第18题13分。
在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点，已知为等腰三角形．
(ⅰ)求椭圆的离心率；
ⅱ) 设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
解】(ⅰ设，．因为为等腰三角形，若，则点在轴上，与矛盾，若，则，由，有，即，或，不合题意，所以，则，由，有，即，（舍去）或．
所以椭圆的离心率为．
ⅱ) 解法1．因为，所以，．所以椭圆方程为．
直线的斜率，则直线的方程为．
两点的坐标满足方程组。
消去并整理得．则，．
于是不妨设，．
设点的坐标为．则，由得．则。
由，得，化简得．
将代入得，所以．
因此点的轨迹方程为，．
解法2．因为，所以，．
椭圆方程为．
直线的斜率，则直线的方程为．
两点的坐标满足方程组。
消去并整理得．则，．
于是不妨设，．
因而点为椭圆短轴的下顶点．
如图，因为，所以点**段的内部，设点的坐标为．则．
过和作轴的垂线．垂足分别为．
因为，，则，于是，．
因为，是直线上的点，则，所以．即，．
由得．则，．
于是，．因此点的轨迹方程为，．
解法3．因为，所以，．所以椭圆方程为．
直线的斜率，则直线的方程为．
两点的坐标满足方程组。
消去并整理得．
设，．则。则。
因为，所以， ③
将①，②代入式③得。
将代入④并整理得．
将代入得，所以．
因此点的轨迹方程为，．
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考福建卷理科第7题5分。
设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（ ）
a．或b．或c．或d．或。
解】因为，所以设，，．
若为椭圆，则所以．
若为双曲线，则所以．故选a．
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考福建卷理科第17题13分。
已知直线，．
（ⅰ）若以点为圆心的圆与直线相切与点，且点在轴上，求该圆的方程；
（ⅱ）若直线关于轴对称的直线为，问直线与抛物线是否相切？说明理由．
【解】（ⅰ解法1．由题意，点的坐标为．
因为以点为圆心的圆与直线相切与点，所以．，所以．
点的坐标为．
设圆的方程为，则，所以，所求的圆的方程为．
解法2．设圆的方程为，因为以点为圆心的圆与直线相切与点，所以解得。
所以，所求的圆的方程为．
ⅱ）解法1．因为直线，且。
直线与直线关于轴对称，则．
由得，解得．
所以，当时，，直线与抛物线相切，当时，，直线与抛物线不相切．
解法2．因为直线，且直线与直线关于轴对称，则．
设直线与抛物线相切的切点为，由得，则，，．
所以切点为，窃电在抛物线上，则，．
所以，当时，直线与抛物线相切，当时，直线与抛物线不相切．
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考湖南卷理科第5题5分。
设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
a．4 b．3 c．2 d．1
答案：c解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
试题类型：圆锥曲线。
试题**：2023年高考湖南卷理科第21题13分。
如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。
ⅰ）求，的方程；
ⅱ）设与轴的交点为m，过坐标原点o的直线与相交于点a,b,直线ma,mb分别与相交与d,e.
i）证明：；
ii)记△mab,△mde的面积分别是。问：是否存在直线，使得=?
请说明理由。
解析：（i）由题意知，从而，又，解得。
故，的方程分别为。
ii）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为。
由得，设，则是上述方程的两个实根，于是。
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