2023年普通高等学校招生全国统一考试（课标1卷）
理科数学答案。
第ⅰ卷。一、 选择题：
1．d 2．b 3．c 4．b 5．a 6．a
7．d 8．c 9．c 10．b 11．a 12．b
二、填空题：
三、解答题：
由正弦定理得：
）由余弦定理得： ∴，即。
∴，即。△周长为．
18. （i）∵为正方形。
面，面。平面平面．
）由（i）知，
∥，平面， 平面。
∥平面， 平面。
平面∩平面。
四边形为等腰梯形。
以为原点，如图建立坐标系，设。
则，，，设面法向量为。
则，即。不妨设，，
设面法向量为。
则，即。不妨设，，
设二面角的大小为。
二面角的余弦值为．
19. （每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11
记事件为第一台机器3年内换掉个零件。
记事件为第二台机器3年内换掉个零件。
由题知，．设2台机器共需要换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22
）要令，∵，则的最小值为19．
）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用。
当时，费用的期望为。
当时，费用的期望为。
所以应选用．
20.（i）圆a整理为，a坐标，如图则，由，则， ∴则。
所以e的轨迹为一个椭圆，方程为，．
）；设，因为，设，联立与椭圆。得；则；
圆心到距离。
所以，21. （i）由已知得。
i)设，则当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
又，，取满足且，则，所以有两个零点．
ii) 设，则，所以有一个零点．
iii)设，由得=1或=ln(-2a) ．
若，则，所以在单调递增，当时，，故不存在两个零点．
若，则ln(-2a)<1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减，当时，，故不存在两个零点．
若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，当时，故不存在两个零点．
综上，的取值范围为．
）由已知得：，不难发现，故可整理得：
设，则。那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．设，构造代数式：
设， 则，故单调递增，有。
因此，对于任意的，．
由可知，不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有。
令，则有，即。
而，，在上单调递增，因此：，即。
整理得：．22. （i）设是的中点，连结，因为，，所以，．
在△中，，即到直线的距离等于圆。
的半径，所以直线与圆相切．
）因为，所以不是，，，四点。
所在圆的圆心，设是，，，四点所在圆的圆心，作直线．由已知得**段的垂直平分线上，又**段的垂直平分线上，所以．
同理可证，．所以∥．
23.（i）圆，（ii）1
i）∵（均为参数）
为以为圆心，为半径的圆．方程为。
即为的极坐标方程．
），两边同乘得。
即②化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为。
得：，即为，即。
24. （i）化为分段函数作图，如图所示：
当，，解得或。
当，，解得或。
或。当，，解得或。
或。综上，或或。
解集为。
2023年高考数学新课标1卷 理科 答案版
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