2023年高考理科数学试卷全国卷1（解析版）
1．设复数z满足=，则|z|=（
a）1bcd）2
答案】a解析】由得， =故|z|=1，故选a.
考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等。
ab） （c） （d）
答案】d解析】原式= =故选d.
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式。
3．设命题：，则为（ ）
ab）cd）
答案】c解析】:，故选c.
考点：本题主要考查特称命题的否定。
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
a）0.648 （b）0.432 （c）0.36 （d）0.312
答案】a解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选a.
考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式。
5．已知m（）是双曲线c：上的一点，是c上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
ab）（-cd）（，
答案】a解析】由题知，，所以= =解得，故选a.
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法。
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：
积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
a）14斛 （b）22斛 （c）36斛 （d）66斛。
答案】b解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选b.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式。
7．设为所在平面内一点，则（ ）
a） （b）
c） （d）
答案】a解析】由题知=，故选a.
考点：平面向量的线性运算。
8．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
a） （b）
c） （d）
答案】d解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，故单调减区间为（，）故选d.
考点：三角函数图像与性质。
9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（
a）5 （b）6 （c）7 （d）8
答案】c解析】执行第1次，t=0.01,s=1,n=0,m==0.5,s=s-m=0.
5, =0.25,n=1,s=0.5＞t=0.
01,是，循环，执行第2次，s=s-m=0.25, =0.125,n=2,s=0.
25＞t=0.01,是，循环，执行第3次，s=s-m=0.125, =0.
0625,n=3,s=0.125＞t=0.01,是，循环，执行第4次，s=s-m=0.
0625, =0.03125,n=4,s=0.0625＞t=0.
01,是，循环，执行第5次，s=s-m=0.03125, =0.015625,n=5,s=0.
03125＞t=0.01,是，循环，执行第6次，s=s-m=0.015625, =0.
0078125,n=6,s=0.015625＞t=0.01,是，循环，执行第7次，s=s-m=0.
0078125, =0.00390625,n=7,s=0.0078125＞t=0.
01,否，输出n=7，故选c.
考点：本题注意考查程序框图。
10．的展开式中，的系数为（ ）
a）10 （b）20c）30 （d）60
答案】c解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 c.
考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数。
名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解。
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（
a）1 （b）2 （c）4 （d）8
答案】b解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选b.
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式。
12．设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）
a）[-1） （bc）[，d）[，1）
答案】d解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方。
因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时， =当时， =1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选d.
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题。
13．若函数f（x）=为偶函数，则a=
答案】1解析】由题知是奇函数，所以=，解得=1.
考点：函数的奇偶性。
14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为。
答案】解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为。
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程。
15．若满足约束条件，则的最大值为。
答案】3解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点a（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
考点：线性规划解法。
16．在平面四边形abcd中，∠a=∠b=∠c=75°，bc=2，则ab的取值范围是。
答案】（，解析】如图所示，延长ba，cd交于e，平移ad，当a与d重合与e点时，ab最长，在△bce中，∠b=∠c=75°，∠e=30°，bc=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移ad ，当d与c重合时，ab最短，此时与ab交于f，在△bcf中，∠b=∠bfc=75°，∠fcb=30°，由正弦定理知，，即，解得bf=，所以ab的取值范围为（，）
考点：正余弦定理；数形结合思想。
17．（本小题满分12分）为数列{}的前项和。已知＞0， =
ⅰ）求{}的通项公式；
ⅱ）设 ,求数列{}的前项和。
答案】（ⅰ解析】
试题分析：（ⅰ先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（ⅱ根据（ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和。
试题解析：（ⅰ当时，，因为，所以=3，当时， =即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；
ⅱ）由（ⅰ）知， =所以数列{}前n项和为= =
考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法。
18．如图，四边形abcd为菱形，∠abc=120°，e，f是平面abcd同一侧的两点，be⊥平面abcd，df⊥平面abcd，be=2df，ae⊥ec.
ⅰ）证明：平面aec⊥平面afc；
ⅱ）求直线ae与直线cf所成角的余弦值。
答案】（ⅰ见解析（ⅱ）
解析】试题分析：（ⅰ连接bd，设bd∩ac=g，连接eg，fg，ef，在菱形abcd中，不妨设gb=1易证eg⊥ac，通过计算可证eg⊥fg，根据线面垂直判定定理可知eg⊥平面afc，由面面垂直判定定理知平面afc⊥平面aec；（ⅱ以g为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系g-xyz，利用向量法可求出异面直线ae与cf所成角的余弦值。
试题解析：（ⅰ连接bd，设bd∩ac=g，连接eg，fg，ef，在菱形abcd中，不妨设gb=1，由∠abc=120°，可得ag=gc=.
由be⊥平面abcd，ab=bc可知，ae=ec，又∵ae⊥ec，∴eg=，eg⊥ac，在rt△ebg中，可得be=，故df=.
在rt△fdg中，可得fg=.
在直角梯形bdfe中，由bd=2，be=，df=可得ef=，，eg⊥fg，ac∩fg=g，∴eg⊥平面afc，eg面aec，∴平面afc⊥平面aec.
ⅱ）如图，以g为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系g-xyz，由（ⅰ）可得a（0，－，0），e（1,0,），f（－1,0，），c（0，，0），∴1，，）1，-，10分。
故。所以直线ae与cf所成的角的余弦值为。
考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力。
19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，··8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中， =ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
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