26.1 二次函数（第1课时）教学设计。
重庆市渝北区沙坪中学熊高全。
一。内容和内容解析。
一）内容。对实际问题列二次函数关系式；二次函数的概念。
二）内容解析。
从教材编写的顺序看，本节是在一元二次方程的基础上，引进二次函数的概念。在这之前，学生已经学习了一次函数、反比例函数、一元二次方程等知识。二次函数概念的学习，不仅是后续学习抛物线性质、图像法解一元二次方程、锐角三角函数等知识的基础，也是学习高中数学函数、一元二次不等式等知识的基础。
因此，本节的内容是函数的重要组成部分，在中学数学中居于核心地位，起着承上启下的作用，成为历年中考的热点，在考查学生数学综合能力、数形结合思想、科学**意识等方面有突出表现。
从教材编写的内容看，本节是二次函数的概念课。学生从实际问题出发，通过列方程的方法得到函数关系式，再对函数关系式进行观察、分析、归纳等活动，发现它们的共同点，抽象得出二次函数概念及一般式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数， a≠0)。然后，学生对函数关系式中a、b、c的取值问题进行分类讨论，进一步认识二次函数模型，从中发现，函数的名称都反映了函数表达式与自变量之间的关系，为后续其它函数的命名提供实践经验和科学方法。
由此可见，学生对二次函数的认识是逐步加深的。
基于以上分析，本节课的教学重点是：探索二次函数的概念，确定二次函数关系式。
二。目标和目标解析。
一）目标。1.知识技能。
1）对实际问题，会用方程法求二次函数关系式。
2）理解二次函数的概念，初步体会函数的名称与函数表达式之间的关系。
2. 数学思考。
二次函数与生活实际问题之间的密切关系。
3. 问题解决。
能从实际问题中抽象出二次函数并确定其表达式。
4. 情感态度。
1）经历二次函数概念的形成过程，使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型。
2）通过观察、操作、讨论、归纳等活动，培养他们合作交流意识和探索能力。
二）目标解析。
达成知识技能目标(1)的标志是：对数学问题，能用方程法求出函数关系式，实际问题，能指出自变量的取值范围。
达成知识技能目标(2)的标志是：给定一个函数关系式，能判断是否是二次函数，同时，会用二次函数的概念解决简单的实际问题。
达成情感态度目标的标志是：学生能积极参与到学习活动中去，独立思考，合作**，展示自我，敢于质疑释疑，从中体验到成功的喜悦，感知到数学知识**于生活，服务于生活。
三。教学问题诊断分析。
一）学生认知基础分析。
1.学生会用一个未知数的代数式去表示另一个未知数，为列函数关系式作准备。
2.学生能确定多项式的次数和系数，并根据函数关系式中自变量的最高次数给函数命名，为二次函数概念的形成作铺垫。
3.具备“通过观察、操作、分类讨论、**、归纳等活动获得数学结论”的经验，有一定的抽象概括能力，为本节课的教学设计提供了前提条件。
4.对函数概念的学习有一些活动经验和基本方法，为类比迁移法的使用打下了基础。
二）学生认知障碍分析。
1.忽视图形语言的作用，解题思路狭窄化。
教材上正方体的表面积问题，学生只凭公式直接得答案，根本不思考表面积的其它解法，对教材上正方体的展开图26.1-1熟视无睹，有的学生还认为展开图是多余的。针对展开图问题，教师可引导学生构建面积问题的解法及思路：
立体图形平面化，平面图形规则化，规则图形公式化。即立体图形，转化为平面图问题解决；平面规则图形，套公式直接求面积；平面不规则图形，割补为规则图形，采取面积和差法求解。从这个角度讲，教材上的展开图并不是多余的，是编者给师生留下的发散思维空间。
2.不懂符号语言的意义，列错函数关系式。
教材上n边形的对角线问题，学生已经知道从一个顶点可以作n-3条对角线，据此推理：n个顶点就可以作n(n-3)条对角线，于是列出函数关系式d = n(n-3)。有的学生还得意忘形地说：
“老师，教材上的答案是错误的。”作为老师，必须对学生的认知错误当面纠正，帮助他们找到出错的原因：对符号语言中的实际意义不清楚。
为此，教师可以采取一般问题特殊化的方法进行诱导。学生动手操作，画一画四边形、五边形和六边形对角线的总条数，从做中领悟的实际意义——所有顶点作出的对角线重复了一次。所以学生的答案是错误的。
同时，又教会学生检验函数关系式正误的方法：只要能指明符号语言的实际意义，就可以判断函数关系式的对错问题。
3.讨论二次函数关系式y=ax2+bx+c中a、b、c的取值范围时，由于已有知识经验产生的负迁移，学生对自变量的系数b≠0不理解。教师可以用二次函数概念的方法给学生释疑。
基于上述分析，本节课的教学难点为：对实际问题，列二次函数关系式。教学疑点为：二次函数关系式y=ax2+bx+c中一次项系数b的取值范围。
四。教学过程设计。
一）教学流程和教学流程解析。
1.教学流程框图。
2. 教学流程解析。
二次函数第一课时的教学流程设计，以建模思想为核心理念，问题为载体，学生为主体。通过在教学过程中，预设观察、猜想、**、讨论、类比、归纳等活动，让学生在实际问题的基础上主动建构二次函数模型，同时，用这个模型解决实际问题，全面达成教学目标。
二）教学过程设计。
1. 创设情景，猜想函数关系，引入新课。
问题情景：节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来凉爽。你是否注意到喷泉水流所经过的路线？
学生活动：学生联想不同季节、不同地方见过的喷泉及水流经过的路线，产生曲线的印象。
设计意图：让学生从喷泉中抽象出数学曲线模型。
追问1：你是否能列举与水流经过的路线相似的生活情景？
预设情景：篮球入篮的路线、竹稍曲线和饰品曲线等。
竹稍曲线饰品曲线。
师生活动：教师把竹稍图和饰品画投影到大屏幕上，让学生在轻**的伴奏下尽情地欣赏和观察。
设计意图：欣赏生活美景，培养学生数学思考意识，强化曲线模型。
追问2：直线可以用一次函数来表示，双曲线可以用反比例函数来表示，上述情景中的曲线，是否可以用一种函数来表示？带着疑问，进入本章学习，期待上述问题解决。
设计意图：借助学生感兴趣的情景提出问题，吸引注意力，激发求知欲。
2. 实际问题，列出函数关系式，**新知。
问题1：已知正方体粉笔盒的棱长x，粉笔盒的表面积为y，**y与x有什么关系？
问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？[1]
问题3：某工厂一种产品的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？[2]
学生活动：学生自主学习教材第4-5页，发现书中显性问题，找出隐含问题，提出新问题，并尝试解决，记录解决问题的方案。然后，以小组为单位进行合作**，讨论上述问题的解决方案，并进行组际交流，确定疑难点。
师生活动：教师或者学生充当能者，对小组共同筛选出的问题、重难点进行部分教学，对关键点进行点睛引导，师生互动，思维接龙，旨在突破难点。
预案：对问题1而言，如果学生不看展开图，直接说出答案，教师可追问：教材上展开图对求面积有什么作用？
提醒学生思考展开图问题。如果学生看了展开图，却不知道它有何用？教师可追问：
同学们，说一说符号语言y=6x2中6的实际意义。请以小组为单位进行讨论。同时，对学生讨论的结果作鼓励性评价。
如学生的答案是 y=4xx+x2+x2时，老师务必当众大力表扬：你的答案非常有创意，观察图很仔细，能够灵活利用书上的展开图求解，打破了思维定势，而且对过去学过的基础知识、方法、思想、基本活动经验进行了整合，变成了自己解决问题的锋利**，你太有才了！同学们，这个同学就是我们学习的榜样，他今后很可能成为一位伟大的发明家。
对问题2而言，如果学生不能正确得到结论，教师用作图法引导：从一个顶点可以作多少条对角线？n个顶点呢？
从所有顶点作出的对角线是否有重复的？如果学生能得出正确结论，教师也可追问：同学们，说一说符号语言中的实际意义。
请同学们先作图，再回答。同时，对他们的解题思路作点评，鼓励他们用不同方法发现规律，树立学习自信心。
设计意图：以粉笔盒为教具，通过对粉笔盒面积求法的**，不但能给学生提供展示平台，体验成功的机会，对学习产生自信，而且可以培养他们一题多解能力，筛选通法通解的意识。此外，对简单的实际问题，列出二次函数关系式，既巩固了方程法求函数关系式的思想，又为二次函数概念的形成提供感性素材。
3. 观察式子，形成二次函数概念。
问题4：观察： ①y = 6x2； ②y = 20x+40x+20.
想一想函数①②③有什么共同点？
师生活动：针对问题4，教师追问：同学们，函数关系式①、②究竟表示的是哪种函数？
能否给这种函数取个名字？学生仔细观察，讨论函数的共同点，由此给函数取名。当学生取名困难时，老师可以从方法的角度进行诱导：
根据函数表达式与自变量的关系，类比一次函数的命名，让学生对函数y=ax2+bx+c进行命名，引出二次函数概念。
设计意图：启发学生观察，思考，归纳三个函数关系式的共同点，通过类比方法，得出二次函数的概念，培养学生类比迁移、归纳推理能力。
4. 合作学习，理解二次函数概念。
问题5：**二次函数y=ax2+bx+c自变量x的取值范围及a、b、c的取值问题。
师生活动：学生围绕问题5进行小组讨论，并把讨论结果进行组际交流，确定疑难点。教师对疑难点进行点拨。
例如概念中 “形如”二字，说明由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次式，而且该二次式一定是整式。又如二次函数中b、c的取值范围，教师可用分类讨论的方法进行点拨，得到二次函数三种特殊形式：
(1) y=ax2；(2) y=ax2＋c；(3) y=ax2＋bx.
设计意图：深入理解二次函数的概念，掌握二次函数的特征，为进一步学习二次函数图像打下坚实的基础。
练习：判断下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b．
1) s=10πr； (2) y=2+2x； (3) y=ax2+bx+c
师生活动：学生根据二次函数的概念进行判断。教师在教室里来回走动，巡视学生们的练习情况，并根据学生的反馈信息，作简要点评。
设计意图：对二次函数概念进行深入理解。
5. 练习编题，运用二次函数概念。
学生活动：根据生活实例，编一道含有二次函数关系式的应用题，并在课堂上展示交流。
二次函数第一课时
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