二次函数 第一课时 教学设计

发布 2024-03-01 01:00:12 阅读 8511

26.1 二次函数(第1课时)教学设计。

重庆市渝北区沙坪中学熊高全。

一。内容和内容解析。

一)内容。对实际问题列二次函数关系式;二次函数的概念。

二)内容解析。

从教材编写的顺序看,本节是在一元二次方程的基础上,引进二次函数的概念。在这之前,学生已经学习了一次函数、反比例函数、一元二次方程等知识。二次函数概念的学习,不仅是后续学习抛物线性质、图像法解一元二次方程、锐角三角函数等知识的基础,也是学习高中数学函数、一元二次不等式等知识的基础。

因此,本节的内容是函数的重要组成部分,在中学数学中居于核心地位,起着承上启下的作用,成为历年中考的热点,在考查学生数学综合能力、数形结合思想、科学**意识等方面有突出表现。

从教材编写的内容看,本节是二次函数的概念课。学生从实际问题出发,通过列方程的方法得到函数关系式,再对函数关系式进行观察、分析、归纳等活动,发现它们的共同点,抽象得出二次函数概念及一般式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数, a≠0)。然后,学生对函数关系式中a、b、c的取值问题进行分类讨论,进一步认识二次函数模型,从中发现,函数的名称都反映了函数表达式与自变量之间的关系,为后续其它函数的命名提供实践经验和科学方法。

由此可见,学生对二次函数的认识是逐步加深的。

基于以上分析,本节课的教学重点是:探索二次函数的概念,确定二次函数关系式。

二。目标和目标解析。

一)目标。1.知识技能。

1)对实际问题,会用方程法求二次函数关系式。

2)理解二次函数的概念,初步体会函数的名称与函数表达式之间的关系。

2. 数学思考。

二次函数与生活实际问题之间的密切关系。

3. 问题解决。

能从实际问题中抽象出二次函数并确定其表达式。

4. 情感态度。

1)经历二次函数概念的形成过程,使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型。

2)通过观察、操作、讨论、归纳等活动,培养他们合作交流意识和探索能力。

二)目标解析。

达成知识技能目标(1)的标志是:对数学问题,能用方程法求出函数关系式,实际问题,能指出自变量的取值范围。

达成知识技能目标(2)的标志是:给定一个函数关系式,能判断是否是二次函数,同时,会用二次函数的概念解决简单的实际问题。

达成情感态度目标的标志是:学生能积极参与到学习活动中去,独立思考,合作**,展示自我,敢于质疑释疑,从中体验到成功的喜悦,感知到数学知识**于生活,服务于生活。

三。教学问题诊断分析。

一)学生认知基础分析。

1.学生会用一个未知数的代数式去表示另一个未知数,为列函数关系式作准备。

2.学生能确定多项式的次数和系数,并根据函数关系式中自变量的最高次数给函数命名,为二次函数概念的形成作铺垫。

3.具备“通过观察、操作、分类讨论、**、归纳等活动获得数学结论”的经验,有一定的抽象概括能力,为本节课的教学设计提供了前提条件。

4.对函数概念的学习有一些活动经验和基本方法,为类比迁移法的使用打下了基础。

二)学生认知障碍分析。

1.忽视图形语言的作用,解题思路狭窄化。

教材上正方体的表面积问题,学生只凭公式直接得答案,根本不思考表面积的其它解法,对教材上正方体的展开图26.1-1熟视无睹,有的学生还认为展开图是多余的。针对展开图问题,教师可引导学生构建面积问题的解法及思路:

立体图形平面化,平面图形规则化,规则图形公式化。即立体图形,转化为平面图问题解决;平面规则图形,套公式直接求面积;平面不规则图形,割补为规则图形,采取面积和差法求解。从这个角度讲,教材上的展开图并不是多余的,是编者给师生留下的发散思维空间。

2.不懂符号语言的意义,列错函数关系式。

教材上n边形的对角线问题,学生已经知道从一个顶点可以作n-3条对角线,据此推理:n个顶点就可以作n(n-3)条对角线,于是列出函数关系式d = n(n-3)。有的学生还得意忘形地说:

“老师,教材上的答案是错误的。”作为老师,必须对学生的认知错误当面纠正,帮助他们找到出错的原因:对符号语言中的实际意义不清楚。

为此,教师可以采取一般问题特殊化的方法进行诱导。学生动手操作,画一画四边形、五边形和六边形对角线的总条数,从做中领悟的实际意义——所有顶点作出的对角线重复了一次。所以学生的答案是错误的。

同时,又教会学生检验函数关系式正误的方法:只要能指明符号语言的实际意义,就可以判断函数关系式的对错问题。

3.讨论二次函数关系式y=ax2+bx+c中a、b、c的取值范围时,由于已有知识经验产生的负迁移,学生对自变量的系数b≠0不理解。教师可以用二次函数概念的方法给学生释疑。

基于上述分析,本节课的教学难点为:对实际问题,列二次函数关系式。教学疑点为:二次函数关系式y=ax2+bx+c中一次项系数b的取值范围。

四。教学过程设计。

一)教学流程和教学流程解析。

1.教学流程框图。

2. 教学流程解析。

二次函数第一课时的教学流程设计,以建模思想为核心理念,问题为载体,学生为主体。通过在教学过程中,预设观察、猜想、**、讨论、类比、归纳等活动,让学生在实际问题的基础上主动建构二次函数模型,同时,用这个模型解决实际问题,全面达成教学目标。

二)教学过程设计。

1. 创设情景,猜想函数关系,引入新课。

问题情景:节日的喷泉给人们带来喜庆,夏日的喷泉给人们带来凉爽。你是否注意到喷泉水流所经过的路线?

学生活动:学生联想不同季节、不同地方见过的喷泉及水流经过的路线,产生曲线的印象。

设计意图:让学生从喷泉中抽象出数学曲线模型。

追问1:你是否能列举与水流经过的路线相似的生活情景?

预设情景:篮球入篮的路线、竹稍曲线和饰品曲线等。

竹稍曲线饰品曲线。

师生活动:教师把竹稍图和饰品画投影到大屏幕上,让学生在轻**的伴奏下尽情地欣赏和观察。

设计意图:欣赏生活美景,培养学生数学思考意识,强化曲线模型。

追问2:直线可以用一次函数来表示,双曲线可以用反比例函数来表示,上述情景中的曲线,是否可以用一种函数来表示?带着疑问,进入本章学习,期待上述问题解决。

设计意图:借助学生感兴趣的情景提出问题,吸引注意力,激发求知欲。

2. 实际问题,列出函数关系式,**新知。

问题1:已知正方体粉笔盒的棱长x,粉笔盒的表面积为y,**y与x有什么关系?

问题2:多边形的对角线数d与边数n有什么关系?[1]

问题3:某工厂一种产品的年产量是20件,计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?[2]

学生活动:学生自主学习教材第4-5页,发现书中显性问题,找出隐含问题,提出新问题,并尝试解决,记录解决问题的方案。然后,以小组为单位进行合作**,讨论上述问题的解决方案,并进行组际交流,确定疑难点。

师生活动:教师或者学生充当能者,对小组共同筛选出的问题、重难点进行部分教学,对关键点进行点睛引导,师生互动,思维接龙,旨在突破难点。

预案:对问题1而言,如果学生不看展开图,直接说出答案,教师可追问:教材上展开图对求面积有什么作用?

提醒学生思考展开图问题。如果学生看了展开图,却不知道它有何用?教师可追问:

同学们,说一说符号语言y=6x2中6的实际意义。请以小组为单位进行讨论。同时,对学生讨论的结果作鼓励性评价。

如学生的答案是 y=4xx+x2+x2时,老师务必当众大力表扬:你的答案非常有创意,观察图很仔细,能够灵活利用书上的展开图求解,打破了思维定势,而且对过去学过的基础知识、方法、思想、基本活动经验进行了整合,变成了自己解决问题的锋利**,你太有才了!同学们,这个同学就是我们学习的榜样,他今后很可能成为一位伟大的发明家。

对问题2而言,如果学生不能正确得到结论,教师用作图法引导:从一个顶点可以作多少条对角线?n个顶点呢?

从所有顶点作出的对角线是否有重复的?如果学生能得出正确结论,教师也可追问:同学们,说一说符号语言中的实际意义。

请同学们先作图,再回答。同时,对他们的解题思路作点评,鼓励他们用不同方法发现规律,树立学习自信心。

设计意图:以粉笔盒为教具,通过对粉笔盒面积求法的**,不但能给学生提供展示平台,体验成功的机会,对学习产生自信,而且可以培养他们一题多解能力,筛选通法通解的意识。此外,对简单的实际问题,列出二次函数关系式,既巩固了方程法求函数关系式的思想,又为二次函数概念的形成提供感性素材。

3. 观察式子,形成二次函数概念。

问题4:观察: ①y = 6x2; ②y = 20x+40x+20.

想一想函数①②③有什么共同点?

师生活动:针对问题4,教师追问:同学们,函数关系式①、②究竟表示的是哪种函数?

能否给这种函数取个名字?学生仔细观察,讨论函数的共同点,由此给函数取名。当学生取名困难时,老师可以从方法的角度进行诱导:

根据函数表达式与自变量的关系,类比一次函数的命名,让学生对函数y=ax2+bx+c进行命名,引出二次函数概念。

设计意图:启发学生观察,思考,归纳三个函数关系式的共同点,通过类比方法,得出二次函数的概念,培养学生类比迁移、归纳推理能力。

4. 合作学习,理解二次函数概念。

问题5:**二次函数y=ax2+bx+c自变量x的取值范围及a、b、c的取值问题。

师生活动:学生围绕问题5进行小组讨论,并把讨论结果进行组际交流,确定疑难点。教师对疑难点进行点拨。

例如概念中 “形如”二字,说明由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次式,而且该二次式一定是整式。又如二次函数中b、c的取值范围,教师可用分类讨论的方法进行点拨,得到二次函数三种特殊形式:

(1) y=ax2;(2) y=ax2+c;(3) y=ax2+bx.

设计意图:深入理解二次函数的概念,掌握二次函数的特征,为进一步学习二次函数图像打下坚实的基础。

练习:判断下列函数中哪些是二次函数?哪些不是二次函数?若是二次函数,指出a、b.

1) s=10πr; (2) y=2+2x; (3) y=ax2+bx+c

师生活动:学生根据二次函数的概念进行判断。教师在教室里来回走动,巡视学生们的练习情况,并根据学生的反馈信息,作简要点评。

设计意图:对二次函数概念进行深入理解。

5. 练习编题,运用二次函数概念。

学生活动:根据生活实例,编一道含有二次函数关系式的应用题,并在课堂上展示交流。

二次函数第一课时

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