专题一规律探索。
1．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点o出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
1）填写下列各点的坐标：a4 ，a8 ；
2）写出点a4n的坐标（n为正整数） ；
3）蚂蚁从点a2014到点a2017的移动方向 ．
2．如图，已知直线l：，过点a（0，1）作y轴的垂线交直线l于点b，过点b作直线l的垂线交y轴于点a1；过点a1作y轴的垂线交直线l于点b1，过点b1作直线l的垂线交y轴于点a2；…；按此作法继续下去，则点a4的坐标为（ ）
a．（0，128） b．（0，256） c．（0，512） d．（0，1024）
3．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点p从原点o出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点p在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点p在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2017秒时，点p的坐标是（ ）
a．（，bc．（2017，） d．（2017，﹣）
4．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用ai表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：a1=1，a2=2，a3=1，a4=1，a5=3，a6=3，a7=1，则a2016= ．
专题二阴影面积的相关计算。
1．将五个边长都为3cm的正方形按如图所示摆放，点a、b、c、d分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 cm2．
2．如图，半圆o的直径ae=4，点b，c，d均在半圆上，若ab=bc，cd=de，连接ob，od，则图中阴影部分的面积为 ．
3．如图，在平行四边形abcd中，ab=4，ad=5，∠b=60°，以点b为圆心，ba为半径作圆，交bc边于点e，连接ed，则图中阴影部分的面积为 ．
4．如图，在△abc中，∠c=90°，ac=bc，斜边ab=4，o是ab的中点，以o为圆心，线段oc的长为半径画圆心角为90°的扇形oef，弧ef经过点c，则图中阴影部分的面积为平方单位．
5．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形oab绕点a逆时针旋转60°，点o，b的对应点分别为o′，b′，连接bb′，则图中阴影部分的面积是（ ）
a． b．2﹣ c．2﹣ d．4﹣
专题三几何图形的折叠与动点问题。
1．如图，在rt△abc中，/acb=90°，ac=8，bc=6，点e是ab边上一动点，过点e作de⊥ab交ac边于点d，将∠a沿直线de翻折，点a落**段ab上的f处，连接fc，当△bcf为等腰三角形时，ae的长为 ．
2．如图，在rt△abc中，已知∠c=90°，ac=6，将△abc折叠，折痕是de，折叠后点a恰好落在bc边上的点f处，若ce=2cf，则cf= ．
3．如图，在矩形abcd中，ab=3，bc=5，点e为bc边上一个动点，连接ae，将线段ae绕点e顺时针旋转90°，点a落在点p处，当点p在矩形abcd外部时，连接pc、pd．若△dpc为直角三角形，则be的长为 ．
4．如图，在矩形abcd中，ad=4，ab=10，点e为边dc上的一个动点（不与点d、c重合），把△ade沿ae折叠，点d的对应点为点d′，若∠d′ab=30°，则dd′的长为 ．
专题四三角函数的应用。
1．如图，一艘海轮位于灯塔p的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的a处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的南偏东45°方向上的b处，求bp和ba的长（结果取整数）．
参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．
2．如图，已知mn表示某引水工程的一段设计路线，从m到n的走向为南偏东30°，在m的南偏东60°方向上有一点a，以a为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区．取mn上另一点b，测得∠abn=45°．已知mb=400m，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？说明理由．
专题五图形的证明与计算。
1．如图，ab是半圆o的直径，点p是半圆上不与点a、b重合的一个动点，延长bp到点c，使pc=pb，d是ac的中点，连接pd、po．
1）求证：△cdp≌△pob；
2）填空：若ab=4，则四边形aopd的最大面积为 ；
连接od，当∠pba的度数为时，四边形bpdo是菱形．
2．如图，cd是⊙o的直径，且cd=2cm，点p为cd的延长线上一点，过点p作⊙o的切线pa，pb，切点分别为点a，b．
1）连接ac，若∠apo=30°，试证明△acp是等腰三角形；
2）填空：当dp= cm时，四边形aobd是菱形；
当dp= cm时，四边形aobp是正方形．
3．如图，在rt△abc中，∠b=90°，ac=60cm，∠a=60°，点d从点c出发沿ca方向以4cm/s的速度向点a匀速运动，同时点e从点a出发沿ab方向以2cm/s的速度向点b匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点d、e运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点ddf⊥bc于点f，连接de，ef．
1）求证：四边形aefd为平行四边形；
2）填空：当t= 时，四边形aefd为菱形；
当t= 时，四边形debf为矩形．
4．如图，在rt△abc中，∠acb=90°，过点c的直线mn∥ab，d为ab边上的一点，过点d作de⊥bc，交直线mn于e，垂足为f，连接cd、be．
1）求证：ce=ad；
2）当d在ab中点时．
四边形becd是形；
则当∠a等于度时，四边形becd是正方形．
专题六类比**。
类型。一、图形旋转变化**。
1．已知∠acd=90°，ac=dc，mn是过点a的直线，过点d作db⊥mn于点b，连接cb．
1）问题发现。
如图（1），过点c作ce⊥cb，与mn交于点e，则易发现bd和ea之间的数量关系为 ，bd、ab、cb之间的数量关系为 ．
2）拓展**。
当mn绕点a旋转到如图（2）位置时，bd、ab、cb之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
3）解决问题。
当mn绕点a旋转到如图（3）位置时（点c、d在直线mn两侧），若此时∠bcd=30°，bd=2时，cb= ．
类型。二、动点及图形变化**。
1．已知，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，点d为直线bc上一动点（点d不与b、c重合），以ad为边在ad的上边作正方形adef，连接cf．
1）观察猜想：如图1，当点d**段bc上时，①bc与cf的位置关系为： ；bc、cd、cf之间的数量关系为： ．
2）数学思考：如图2，当点d**段cb的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①bc与cf的位置关系为： ；bc、cd、cf之间的数量关系为： ．
3）如图3，当点d**段bc的延长线上时，延长ba交cf于点g，连接gd，若已知ab=2，cd=bc，请求出dg的长（写出求解过程）．
2．（1）问题发现：
如图①，在等边三角形abc中，点m为bc边上异于b、c的一点，以am为边作等边三角形amn，连接cn，nc与ab的位置关系为 ；
2）深入**：
如图②，在等腰三角形abc中，ba=bc，点m为bc边上异于b、c的一点，以am为边作等腰三角形amn，使∠abc=∠amn，am=mn，连接cn，试**∠abc与∠acn的数量关系，并说明理由；
3）拓展延伸：
如图③，在正方形adbc中，ad=ac，点m为bc边上异于b、c的一点，以am为边作正方形amef，点n为正方形amef的中点，连接cn，若bc=10，cn=，试求ef的长．
专题七一次函数及应用。
1．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；
2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？
2．甲、乙两家樱桃采摘园的品质相同，销售**也相同，“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线oab表示y2与x之间的函数关系．
1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售**是每千克元；
2）求y1、y2与x的函数表达式；
3）在图中画出y1与x的函数图象，若某人想在“五一期间”采摘樱桃25千克，那么甲、乙哪个采摘园较为优惠？请说明理由．
3．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整**，每降价1元/千克，每日可多销售2千克．
1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为元/千克；
2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡．
求这种化工原料的进价；
若公司每天的纯利润（收入﹣支出）全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天才能还清借款？
专题八反比例函数。
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象分别交x轴，y轴于a、b两点，与反比例函数y2=的图象交于c、d两点，已知点c的坐标为（﹣4，﹣1），点d的横坐标为2．
1）求反比例函数与一次函数的解析式；
2019寒假九年级数学教学案九
2013年寒假九年级数学学案九。动态问题。一 基础检测。1.2011湖州 如图，已知a b是反比例函数 k 0,x 0 图象上的两点，bc x轴，交y轴于点c 动点p从坐标原点o出发，沿o a b c 图中 所示路线 匀速运动，终点为c 过p作pm x轴，pn y轴，垂足分别为m n 设四边形0mp...
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