矩阵的秩维向量向量组的线性相关性（5）
1． 填空题。
2）线性相关。
2．选择题。
1） c2） b
从中取。故，是a的一个最高阶非零子式。
5．令则。因为线性无关，所以。
所以线性无关。
6．必要性：
充分性：因为可由线性表示，不妨令，
从而，又因为线性无关，所以，即，从而可由线性表示的表示法唯一。
线性代数练习题（6）详细解答。
3． 解：设，由于，故，是一个最大无关组，且。
4．证明：考虑线性齐次方程组的解。因为是矩阵，而，故仅有零解。由假设，得，所以。
5．解：由于。
故是的一个基，在该基下的坐标为。
6．解：取， ，再取，即为所求。
线性代数练习题（7）详细解答。
2．（a）。
3．解：由于，故基础解系为，通解为。
4．解：将增广矩阵化为行最简形：
相应的方程组为：
通解为。 5．解：取，则方程组的通解为：，即。
线性代数练习题（8）详细解答。
2．解：由，即。
得特征值：，，
当时，由，解得，。
当时，由，解得，。
当时，由，解得，。
3． 解：设对应于的特征向量的特征值为，则，于是。
故，解得或。
4． 解：由得，又由，得，解方程组得。
5． 证明：设与特征值对应的特征向量为，显然，即，从而即。
线性代数练习题（9）详细解答。
2．解：，
对应于，由得；
对应于，由得；
对应于，由得．
取，有．3．解：，，
对应于，由得；
对应于，由得；
对应于，由得．
取，，有．4．解：由于，，，故为负定的．
5．证明：因为为阶实对称阵，所以存在阶正交阵，使得，从而，，故，于是，因此，所以．
6．证明：不妨设是阶正定二次型，则存在正交阵，使得，，．
在上式两边取逆阵，得，从而是正定二次型．
矩阵的秩与n维向量空间单元测试题答案。
1．填空题。
2. 选择题。
1）b;（2）b;(3)d
3．已知， ,是线性无关向量组，求与此向量组等价的两两正交的单位向量组。
解先进行正交化得到。
在进行单位化得到。
就是所求的两两正交的单位向量组。
4．证明：向量组
, 是中的一组基，并求向量在该基下坐标．
解 =,可得秩()=4, 这四个向量线性无关， 所以该向量组是中的一组基。
可知方程组的解为。
所以向量在该基下的坐标为。
5. 求向量组的秩以及一个极大无关组，并将其它的向量用此极大无关组线性表示．解：故
为一个极大无关组，
且 6.设a为n(n≥2)阶方阵，证明：
1) 当秩()=n时，秩()=n;
2) 当秩()＜n-1时，秩()=0;
3) 当秩()=n-1时，秩()=1．
证 (1) 由于秩()=n, 所以， 而， 在等式两边同乘可得， 据此可知是可逆的， 所以秩()=n.
(2) 秩()＜n-1时， 根据矩阵秩的定义可知的所有阶子式都为0, 而的元素就是的所有阶子式， 所以的元素都是0, 即=, 所以秩()=0.
3) 当秩()=n-1时， 不是满秩的， 所以。 又因为， 所以， 据此可知秩()+秩(),而秩()=n-1, 所以秩().同时由于。
秩()=n-1, 根据矩阵秩的定义可知至少有一个阶子式不为零， 而的元素就是的所有阶子式， 所以中至少有一个元素不为零。 由此可知秩().
综上所述秩()=1.
线性方程组单元测试题答案。
1．填空题。
2．选择题。
1）d;（2）d;(3)c；（4）d；（5）a
3．已知５×４矩阵a的秩为3，非齐次线性方程组有3个解向量，且
求的通解。
解因为是５×４的矩阵， 所以的未知数的个数为4, 又因为秩()=3, 因此的导出组的基础解系含有4-3=1个线性无关的解向量组成。
由于是三个解， 所以， 这表明是导出组的解， 由于的通解是由的一个特解加上导出组的基础解系的线性组合构成， 所以的通解为 (其中为任意数).
4. 求当a ，b何值时，线性方程组。
无解；有唯一解；有无穷多个解？并求出有无穷多个解时的全部解（或通解）。
解： 设方程组的增广矩阵为，对进行初等变换。
当时，即且，线性方程组无解。
当，即，线性方程组有唯一解 。
当，即且，线性方程组有无穷多个解。
当且时，线性方程组的一般解为，特解，其对应齐次线性方程组的基础解系为，线性方程组通解为为任意常数）。
5. 已知。及。
（1）a ，b为何值时，不能表为的线性组合？
（2）a ，b为何值时，有的唯一线性表示式？并写出该表示式。
解： 设=k+k+k+，则k,k,k，是方程组的解。
设方程组的增广矩阵为，对进行初等变换。
1）当r（）时，不能表为的线性组合，此时。
a = 1且b。
2）当r（）=4时 ，有的唯一线性表示式。此时a，且 =。
6. 设m矩阵a的秩为 r n，又为非齐次线性方程组ax=b的n-r+1个线性无关解。求证：是其导出组ax=o的一个基础解系。
证明： ，ax=o的基础解系含有n - r个线性无关解。
又为非齐次线性方程组ax=b的n – r + 1个线性无关解，是其导出组ax=o的n- r个解。
假设线性相关，则存在不全为零的使得。
即。不全为零，线性相关，与题设矛盾。
线性无关。是其导出组ax=o的一个基础解系。
特征值与特征向量及二次型单元测试题答案。
1．填空题。
1）a;（2）b;(3)b；（4）d；（5）c
2．填空题。
3. 已知3阶矩阵a的特征值为-1,1,2，求
1) 矩阵的特征值；
解 (1) 取， 则，
所以的特征值为。
4．设矩阵a与b相似，其中，.
1) 求a,b的值；
2) 求可逆矩阵p，使。
解 (1) 矩阵a与b相似， 所以tra=trb, ,由此可以得到， 从而可知。
2) a与b相似， 所以a的特征值为2,2,6.
求解方程组， 得到属于2的线性无关的特征向量为。
求解方程组， 得到属于6的线性无关的特征向量为。
所以。5. 已知1，1，-1是3阶实对称矩阵a的3个特征值，向量，
是a的属于的特征向量．
1) 求a的属于特征值-1的特征向量；
2) 求出矩阵a．
解 (1) 设的属于-1的特征向量为，则和，均正交， 所以有从而得到 (为任意非零常数).
(2) 对，进行正交化得到。
再对三个向量进行单位化得到正交单位向量组：
由此可得， 对角矩阵为，
因此。6. 已知3阶方阵a的特征值为0，1，2，所对应的特征向量分别为。
求(1) ，其中k为任意正整数； (2) ；3) ．
解 (1) 由方阵a的特征值为0，1，2，所对应的特征向量分别为， ,可知， 所以。
(2) 取， 方阵a的特征值为0，1，2, 所以的特征值为。 因此。
线性代数答案
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线性代数作业
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线性代数作业
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