线性代数复习参考2011a
1、 设a=，b=，求3ab-2a及atb。
解：b中的1-1应该是-1吧。
如果是1-1=0
则答案如下；
2、设a=，b=，问：
1） ab=ba吗？
2）（a+b）2=a2+2ab+b2吗？
3）（a+b）(a-b)=a2-b2吗？
(1)abba吗？
解 abba
因为所以abba
(2)(ab)2a22abb2吗？
解 (ab)2a22abb2 因为 但
所以(ab)2a22abb2
(3)(ab)(ab)a2b2吗？
解 (ab)(ab)a2b2 因为 而
故(ab)(ab)a2b2
3、设a=，求a2，a3，……ak。
解 由于=，所以
4、设a、b为n阶矩阵，且a为对称矩阵。证明：btab也是对称矩阵。
证明：因为a为对称矩阵，所以at=a，所以(btab)t =btat(bt)t=btab，所以 btab也是对称矩阵。
5、设矩阵a、b及a+b都是可逆矩阵，证明a-1+b-1也是可逆矩阵，并求其逆矩阵。
证明因为a1(ab)b1b1a1a1b1
而a1(ab)b1是三个可逆矩阵的乘积
所以a1(ab)b1可逆即a1b1可逆
(a1b1)1[a1(ab)b1]1b(ab)1a
6、设方阵a满足a2-a-2e=o，证明a及a+2e都是可逆矩阵，并求其逆矩阵。
7、设向量a1、a2线性无关，向量a1+b、a2+b线性相关，求向量b用a1、a2线性表示的表示式。
解：因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数1 2使。
1(a1b)2(a2b)0
由此得 设。
则bca1(1c)a2 cr
8、设a1、a2线性相关，b1、b2也线性相关，问a1+b1、a2+b2是否一定线性相关？
答：a1+b1、a2+b2不一定线性相关，例如当a1(1 2)t, a2(2 4)t, b1(1 1)t, b2(0 0)t时有。
a1b1(1 2)tb1(0 1)t, a2b2(2 4)t(0 0)t(2 4)t
而a1b1 a2b2的对应分量不成比例是线性无关的
9、设向量b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，证明向量b1、b2、b3、b4线性相关。
证明由已知条件得。
a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1
于是 a1 b1b2a3
b1b2b3a4
b1b2b3b4a1
从而 b1b2b3b40
这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关。
10、设a、b是n阶对称矩阵，证明ab是对称矩阵的充分必要条件是ab=ba。
证明：充分性若a、b是n阶对称矩阵，ab是对称矩阵，所以（ab）t= ab，则at=a，bt=b，所以（ab）t=btat=ba =ab，从而ab=ba。
必要性因为ata btb 且(ab)tab 所以。
ab(ab)tbtatba
11、若n阶矩阵a、b满足aba-1=d，其中d=，求b 2012。
解：（aba-1）2012=d2012，从而ab2012a-1=d2012，b2012=a-1d2012a。
d=b2012=a-1d2012a= a-1 ()2012)a
12、设a、b是n阶矩阵，且a是对称矩阵，证明btab是对称矩阵。
证明： 同第四题。
13、计算下列行列式的值：
解：解： 解：原式。
解：原式。
解：原式。14、解下列线性方程组：
解： 即。
得：2)对它的增广矩阵做初等变换。即。得。
15、问a取何值时，线性方程组。
有唯一解，无解，有无穷多解？在有无穷多解时，求通解。解 : b
要使方程组有唯一解必须r(a)r(b)3 即必须。
(1a)(10a)0
所以当a1且a10时方程组有唯一解。
要使方程组无解必须r(a)r(b) 即必须。
(1a)(10a)0且(1a)(4a)0
所以当a10时方程组无解。
要使方程组有无穷多解必须r(a)r(b)3 即必须。
(1a)(10a)0且(1a)(4a)0
所以当a1时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为。
b~方程组的解为。
或 (k1 k2为任意常数)
16、求下列矩阵的逆矩阵：
解：（1）设a=，则，故a1存在因为。而 所以
2）设a=,则，故a1存在因为。
所以 = 3）设a=,则，故a1存在因为。
所以 = 17、求下面矩阵的特征值和特征向量：a 解：
所以a的特征值是，，
对于，方程组（2i-a）x=0即为。
即。解为，即是属于2的特征向量
对于，方程组=0即为。
即。解为，即是属于的特征向量
对于，方程组=0即为。
即。解为，即是属于的特征向量 b=解：
所以a的特征值是，
对于，方程组（2i-a）x=0即为。
即。解为，即是属于2的特征向量
对于，方程组（i-a）x=0即为。
即。解为，即是属于1的特征向量
18、设有下列矩阵：
a=， b=，求3ab-2a及atb。
解：同第一题。
19、设a=， 求a2010。
解： a2010=
20、设x、y是k阶矩阵，且x是对称矩阵，证明ytxy是对称矩阵。
同第四题。21、计算下列行列式的值：
解（1）2(4)30(1)(1)118
22、解下列线性方程组：
同14题（1）
23、问a取何值时，线性方程组。
有唯一解，无解，有无穷多解？在有无穷多解时，求通解。
同15题。24、用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵：
所以原矩阵的逆矩阵是。
解。所以原矩阵的逆矩阵是。
25、求下面矩阵的特征值和特征向量：
a=同17（1）
26、设有下列矩阵：
a=， b=，求3ab-2a及atb。
解：下面给出这种题的解法如下：
a的第一行分别乘以b的第一列的到答案的第一个0,
a的第一行分别乘以b的第二列的到答案的第一个5,a的第一行分别乘以b的第三列的到答案的第一个8。
a的第二行分别乘以b的第一列的到答案的第一个-1,a的第二行分别乘以b的第二列的到答案的第一个-22,a的第二行分别乘以b的第三列的到答案的第一个14。
a的第三行分别乘以b的第一列的到答案的第一个11,a的第三行分别乘以b的第二列的到答案的第一个57,a的第三行分别乘以b的第三列的到答案的第一个-2,对应的数直接减)
表示a的转置。就把a的行变成列就的。
a=，则。27、设a=， 求a100。
解： a100=
28、求下列矩阵的秩：
解：（1）所以矩阵的秩等于2
所以矩阵的秩等于3
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