华南农业大学期末考试试卷（a卷）
2011-2012 学年第2学期考试科目：线性代数
试类型：（闭卷）考试考试时间：120
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内。
1. 设a是方阵，如有矩阵关系式ab=ac，则必有（ d ）
2. 设1， 2，…，k是n维列向量，则1， 2，…，**性无关的充分必要条件是（ d ）．
3．若a为6阶方阵，齐次线性方程组ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(a)=(c )
4．.设矩阵a=,则与矩阵a相似的矩阵是( b )
5. 设a为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（ a ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
6. 函数中的系数是。
7. 设， =则与的距离为9.
8. 设向量， =正交，则=．
9. 已知方程组无解，则-1．
10. 二次型是正定的，则的取值范围是。
三、计算题。
11.(满分8分) 设且矩阵满足关系式其中ｉ为单位阵。求。解：2分
4分。7分。
8分。12.（满分8分）计算行列式。
解：第一行减第二行，第三行减第四行得：
2分。第二列减第一列，第四列减第三列得：
4分。按第一行展开得。
6分。按第三列展开得。
8分。方法不唯一，其他解法类似给分）
13.(满分7分) 设a为三阶矩阵，为a的伴随矩阵，且，求。
解：因a＝，故2分
4分 7分。
四、解答题。
14.(满分10分) 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。解：3分。
基础解系为6分。
令，得一特解8分。
故原方程组的通解为：
其中 --10分。
此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）
15.（满分１０分）求出向量组，的一个最大线性无关组，并用最大线性无关组表示组中其它向量。
解6分。秩为2. 最大无关组8分。
10分。16.(满分６分) 设是二阶方阵，特征值分别为，其对应的特征向量分别。
为，。设，求，及。
解2分。- 4分。
6分。17.（满分10分）设有二次型。
1） 写出二次型的矩阵；
2） 用配方法化二次型为标准型，并写出所用可逆线性变换。
解：13分。
6分。令即为所求。
10分。五、证明题。
18. (满分6分) 已知向量组线性无关，证明向量组，线性无关。
证明： 设有数使。2分。即。
线性无关，4分。
方程组只有零解。线性无关6分。
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