一、 单项选择题。
1、 若，为同阶矩阵，且则（ ）是正确的。
a）（b）（c）（d）
2、已知，均为阶矩阵，且，则（ ）是正确的。
ab）与中至少有一个是零矩阵。
c）与中至少有一个是奇异矩阵 （d）秩或秩。
3、若是的矩阵，是的列向量，是非齐次线性方程组的导出组，则（ ）是正确的。
a）当仅有零解时，的解唯一。
b）当的秩时，的解有无穷多个。
c）当有无穷多个解时，有非零解。
d）当无解时，也无解。
4、阶矩阵与对角阵相似的充分必要的条件是（ ）
a）矩阵有个不同的特征值 （b）矩阵有个不同的特征向量。
c）矩阵有个线性无关的特征向量 （d）的行列式与一个对角矩阵的行列式相等。
5、设是一个实对称矩阵，如果（ ）则不一定是正定矩阵。
a）的秩b）的正惯性指数等于。
c）的个顺序主子式均为正数 （d）合同于阶单位阵。
6、行列式的值=（
a）-12 （b）96 （c）12d）-96
7、设a，b，c分别为2×3，3×2，3×3的矩阵，则下列各式中的意义是（ ）
a）ca （b）cba （c）bc （d）ab－cb
8、若是3×4的矩阵，是4×1的列向量，的秩为，则非齐次线性方程组满足（ ）条件时一定有解。
a）r =1 （b）r =2 （c）r =3 （d）增广矩阵的秩。
9、矩阵与下面的对角矩阵（ ）相似。
a） （b） （c）（d）
10、二次型的矩阵为（ ）
a） （b） （c）（d）
二、填空题。
1、行列式中元素的代数余子式。
2、若均为5阶矩阵，且，则。
3、设。4、已知矩阵，则的逆。
5、向量组，，的秩。
6、已知三维向量组线性无关，则。
7、已知为3×4的矩阵，且的秩，如果是非齐次线性方程组的两个不同的解向量，则该方程组的全部解为。
8、若非齐次线性方程组无解，则常数。
9、已知，都是三阶矩阵，且，，则。
10、设二次型的秩为3，又负惯性指数为2，则二次型的规范形为。
11、四阶行列式的第四列的元素依次为和-7，它们对应的余子式分别为和9，则该行列式的值为。
12、若为5阶矩阵，且，则。
13、若及满足关系，其中，，，则。
14、向量组，，的秩。
15、已知向量组，线性相关，则。
16、已知为4×6的矩阵，如果的秩，则齐次线性方程组的基础解系中含有个解向量。
17、若非齐次线性方程组的解是唯一的，则常数。
18、已知，都是三阶矩阵，且，的特征值为，，，则。
19、二次型的矩阵合同于矩阵，则二次型的规范形为。
三、计算题。
1、计算行列式。
2、设矩阵和满足关系式，且，为三阶单位阵，求矩阵。
3、求向量组，，，的一个极大无关组，并把其余的向量用这个极大无关组线性表示出来。
4、试问取何值时，非齐性线性方程组有解？并在有解的情况下，求出该方程组的全部解。
5、已知矩阵试问是否与对角阵相似？如果能与对角阵相似，请求出这个对角阵和一个非奇异矩阵，使。
6、将二次型化为标准形；并写出所用的线性变换及其中的矩阵。
四、简述题。
1、“若阶矩阵与均可逆，则”对不对？如果对，请予证明；如果不对，可举反例说明或予以改正。
2、“若三维列向量和都是三阶矩阵的特征向量，则也是矩阵的特征向量。”对不对？为什么？
五、证明题。
1、证明：若向量组，，线性无关，则向量组，，线性无关。
2、已知方阵满足关系，其中是与同阶单位阵，证明：矩阵可逆，并求出其逆矩连。
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