线性代数题库。
行列式习题。
1. 选择 i 与k使1) 1274i56k9 成偶排列；2) 1i25k4897成奇排列。
2. 决定排列 1 3… (2n-1) 2 4… (2n) 的逆序数，并讨论它的奇偶性。
3. 证明在 n 级排列中， 奇排列与偶排列各占一半。
4. 在6阶行列式中， 这两项 a23a31a42a56a14a65 与 a32a43a14a51a66a25 应带有什么符号？
5. 写出4阶行列式中所有带有负号并且包含因子 a23的项。
6. 设n阶行列式，，，证明。
7．计算：.
8．计算：
9. 计算： .
10．下列（n>2）阶行列式的值为零的是（ ）
1）行列式主对角线上的元素全为零；（2）上三角形行列式主对角线上有一个元素为零；
3）行列式中零元素的个数多于n个；（4）行列式中非零元素的个数小于n个。
11. 计算行列式： 。
12. 计算行列式： 。
13. 计算行列式： 。
14. 计算行列式： 。
15. 计算行列式： 。
16 证明：.
17. 的充要条件是（ ）
1）；（2）；（3）且；（4）或。
18．如果，，那么（ ）
（1）2d; (2)-2d; (3)8d; (4)-8d.
19. 解方程： .
20. 解方程： .
21．计算行列式： ，其中。
22．计算行列式： .
23．计算行列式： .
24．计算： .
25．计算： .
26. 证明： ,其中。
27 证明。
28 证明：。
29. 证明： ,其。
30. 证明：
31. 用克兰姆法则解下列线性方程组： .
32. 用克兰姆法则解下列线性方程组： .
33. 设齐次线性方程组有非零解， 问取何值？
34．证明齐次线性方程组。
只有零解， 其中a, b, c, d是互不相同的数。
35. 设线性方程组有非零解， 问λ取何值？
36．如果有解零解，则下列各式中正确的是（ ）
1）k=0, (2) k=1, (3) k=-1, (4) k=-3.
37.设，是d中元素的代数余子式，则下列各式中正确的是（ ）
38. 设， 证明：。
39. 计算行列式： 。
40. 计算行列式： 。
41. 计算行列式： 。
42. 计算行列式： 。
43. 设求a+b, a-b, 2a+3b.
44 计算矩阵的乘积。 45计算矩阵的乘积。
46计算矩阵的乘积。
47 计算矩阵的n次幂( n>0) .48计算矩阵的n次幂( n>0) .
49.计算n次幂( n>0) .50. 求所有与可交换的矩阵。
51.计算矩阵的n次幂( n>0) .52计算矩阵的n次幂( n>0) .
53. 设a=为n阶矩阵， 分别求的第s行t列元素。
54. 设a是一个n阶矩阵， 定义。
如果求。55．设a是一个n阶矩阵， 定义。
如果求。56．计算矩阵的n次幂( n>0) .57. 求所有与可交换的矩阵。
58. 设a与b、c均可换， 证明a、b、c是同阶矩阵， 且a与 b+c、bc均可交换。
59. 设a, b为同阶矩阵， 且满足a=，求证： 的充要条件是。
60. 设为n阶矩阵， 称a的主对角线上所有元素的和为a的迹， 记作即。设为n阶矩阵， 求证： (1) (2) 为任意整数。
61. 求所有与可交换的矩阵。 62. 求平方等于零的所有2阶矩阵。
63. 设为n阶矩阵， 称a的主对角线上所有元素的和为a的迹， 记作即。设为n阶矩阵， 求证：
(1) (2) 64. 设a为n阶矩阵， 满足。证明：
a是奇异矩阵。
65. 设，已知，求。
66. 两个主对角线上所有元素全为1的 n阶下三角矩阵的乘积还是主对角线上所有元素全为1的下三角矩阵。
67. 设a为n阶矩阵， 证明： (1) 是对称矩阵， 是反对称矩阵； (2) a可表示为对称矩阵和反对称矩阵的和。
68. 设a, b均为n阶对称矩阵， 证明： ab是对称矩阵的充要条件是a与b可换。
69. 设a为m×n矩阵， 证明： 与均是对称矩阵。
70. 设a为n阶对称矩阵， b为n阶反对称矩阵。 (1) 问是否为对称或反对称矩阵； (2) 证明： ab+ba是反对称矩阵。 71.计算矩阵的n次幂( n>0)
72.设a,b,c为同价方阵，其中c为可逆矩阵，且满足求证：对任意正整数m,有。 73. 设a为实数域上的n阶对称矩阵， 且满足求证：a=0.
74. 已知，其中n为正整数。
75. 设， k为正整数， ,求 (n为正整数).
76. 设a与b均为n阶矩阵， 求证： .
77. 证明： 矩阵a与所有n阶对角矩阵可交换的充要条件是a为n阶对角矩阵。
78. 证明： 与任意的n阶矩阵可交换的矩阵必是n阶数量矩阵。
79. 设a为3阶矩阵， 且|a|=-2. 若将a按列分块为，其中为a的第j列（j=1，2，3），求下列行列式： (1) ；2) 。
80. 设，，计算ab.
81. 求的逆矩阵。 82．求的逆矩阵。
83. 求的逆矩阵。 84．求的逆矩阵。
85. 求的逆矩阵86. 设a为奇数阶的反对称矩阵， 求证： |a|=0.
87. 设a、b、c均为n阶矩阵， 问命题“若ab=ac, 则b=c”与命题“ 若b≠c, 则ab≠ac”是否成立？ 若成立，给出证明； 若不成立， 举反例说明。
88. 设a、b均为n阶矩阵， 问命题“若a, b均不可逆， 则a+b不也可逆”与命题“若ab不可逆， 则a, b均不可逆”是否成立？ 若成立，给出证明； 若不成立， 举反例说明。
89. 设a为n阶矩阵， 问命题“若a可逆， 则ka可逆(k为数) ”与命题“”是否成立？ 若成立，给出证明； 若不成立， 举反例说明。
90. 设a为n阶矩阵， 问命题“（k为正整数) ”与命题“”是否成立？ 若成立，给出证明； 若不成立， 举反例说明。
91. 设a、b均为n阶矩阵， 问命题“”与命题“”是否成立？ 若成立，给出证明； 若不成立， 举反例说明。
92.设a为n阶矩阵， a≠o且存在正整数k≥2, 满足， 求证： i-a可逆， 且。
93.设a为n阶矩阵， 存在正整数k≥2, 满足， 其中为实数，且， 求证： a可逆， 并且求a的逆。
94. 设方阵a满足，证明： a+i, a-3i均可逆，并求它们的逆矩阵。
95. 可逆的对称矩阵的逆矩阵是对称矩阵。
96. 设a, p均为n阶矩阵， 且（有r个1), 求|a+2i|.
97. 设a为n阶可逆矩阵， 为a的伴随矩阵。 (1) 求证： 也可逆， 并求； (2) 设，求 (3) 求证： .
98. 设a为n阶可逆矩阵， 为a的伴随矩阵。 (1) 求证：
(2) 求证： (k为非零常数). 97.
设a为奇数阶可逆矩阵， 且， |a|=1, 求 |i-a|.
99. 设a为3阶矩阵， 为a的伴随矩阵， 且已知|a|=,求行列式。
100．设求矩阵的逆矩阵。
101．设，求矩阵的逆矩阵。
102．设，求矩阵的逆矩阵。
103. 设a、b、c均为n阶矩阵， i为n阶单位矩阵， 且满足abc=i, 问等式bca=i与等式bac=i是否成立？ 若成立， 给出证明； 若不成立， 举反例说明。
104. 设a、b、c均为n阶矩阵， i为n阶单位矩阵， 且满足abc=i, 问等式acb=i与等式 cba=i是否成立？ 若成立， 给出证明； 若不成立， 举反例说明。
105. 设a、b、c均为n阶矩阵， i为n阶单位矩阵， 且满足abc=i, 问等式cab=i是否成立？ 若成立， 给出证明； 若不成立， 举反例说明。
106. 设a、b均为n阶矩阵， i为n阶单位矩阵。问命题与命题是否成立？ 若成立， 给出证明； 若不成立， 举反例说明。
107. 设a、b均为n阶矩阵， i为n阶单位矩阵。问命题与命题是否成立？ 若成立， 给出证明； 若不成立， 举反例说明。
108. 设a、b均为n阶矩阵， i为n阶单位矩阵。问命题ab可逆a, b可逆与命题是否成立？ 若成立， 给出证明； 若不成立， 举反例说明。
109. 设a为n阶矩阵（n≥2）为a的伴随矩阵。求证：
110.设，其中a为m阶可逆矩阵， b为n阶可逆矩阵， 求证： c可逆， 并求c的逆。
111. 设i为n阶单位矩阵，已知求证： (1) 为正整数); 2) a+2i或a-i不可逆； (3) a与a+i均可逆。
112. 设a为元素全为1的n阶矩阵， i为n阶单位矩阵，求证： (1) 为正整数); 2)
113. 如果一个n阶反对称矩阵可逆， 那么n为偶数，举例说明反之不然。
114. 设a为3阶对称矩阵， 且主对角线上所有元素全为0, b=diag(0, 1,2), 求使ab+i为可逆矩阵的条件。 115.
设a为n阶矩阵， i为n阶单位矩阵，满足和|a|< 0, 求 |i+a|.
116. 设a为n阶矩阵， i为n阶单位矩阵，满足。证明： (1) 均可逆，并求它们的逆； (2) 不同时可逆。
117. 设a为n阶矩阵， 但不是数量矩阵， i为n阶单位矩阵，满足。讨论取何值时不可逆？
118. 设a、b和a+b均可逆， 证明： .
119. 求的所有代数余子式的和。
线性代数作业
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