(共10道小题每题10分)
2.设=(6 2 0 4) ,3 1 5 7 ) 则= （24 8 10 2）。
3.设a是 m×n矩阵，b是 p×m矩阵，则 a t b t 是 n × p 阶矩阵。
4.行列式= 4 。
5.设=, a= ,b= ,则 αab= （0 1 4） 。
6.已知是其次线性方程组的一个基础解系，若。
讨论实数满足什么条件时，也是的一个基础解系。
解：只需讨论线性无关的条件。
k1β1+k2β2+k3β3=0 <=k1+λk3)α1+ (k2+λk1)α2+(k3+λk2)α3=0
因为线性无关，所以：k1+λk3=0
k1+k2=0
k2+k3=0
是基础解系。
则齐次线性方程组k1+λk3=0 只有零解，故系数行列式不为零。
k1+k2=0
k2+k3=0
1 0 λ;1 0；0 λ 1| ≠0 <=1+λ3≠0 <=1 ，所以当λ≠1 时，是基础解系。
7.求一个正交变换p，化二次型为标准形。
解： 二次型的矩阵 a=2 0 0
a-λe| =2-λ 0 0
所以 a 的特征值为 1,2,5.
a-e =1 0 0
r3-r2,r2*(1/2)1 0 0
a-e)x=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
a-2e =0 0 0
r3-2r2 0 0 0
r3*(-1/3),r2-2r3
a-2e)x=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
a-5e =-3 0 0
r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
a-5e)x=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.
a1,a2,a3 单位化得。
p 1=(0,1/√2,-1/√2)'
p 2=(1,0,0)'
p 3=(0,1/√2,1/√2)'
令 p = p 1, p 2, p 3), 则 p 是正交矩阵， 且。
p^-1ap = diag(1,2,5).
故 x=py 是正交变换， 满足。
f = y12+2y22+5y32.
8.设矩阵，矩阵。
1）求对角阵d，使b与d相似。
2）求的值，使b为正定矩阵。
解：a的特征值：|a-λe|=λ2）（λ3），所以特征值是：0，2，3
b的特征值为：k2,(k+2) 2,(k+3) 2, d={ k2
(k+2) 2
k+3) 2
b为正定，则k2>0且(k+2) 2>0且(k+3) 2>0，即k≠0，-2，-3.
9.设a是反对称矩阵，e+a是可逆矩阵。证明 (ea) (e+a) 1是正交矩阵。
解：因为at=-a,故。
(e-a)(e+a)-1]t[(e-a)(e+a)-1]=(e+at)-1（e-a）t（e-a)(e+a)-1
(e-a)-1（e+a）（e-a)(e+a)-1
e+a）与（e-a)可交 =(e-a)-1（e+a） (e+a)-1（e-a)=e
所以，(ea) (e+a) 1是正交矩阵。
10. 已知3阶方阵a可逆且a1 = 求a的伴随矩阵的逆矩阵。
解：|a|=1/|a-1|=1/6
a+=|a|a-1=1/6 a-1
a=（a-1）-1=1/6[6 3 -2]
a+)-1=(1/6 a-1) -1=6a=[ 6 3 -2]
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