一、填空题(每小题3分，共15分)
1. 设a =,b = 则ab =
2. 设a为3矩阵， 且方程组ax = 0的基础解系含有两个解向量， 则r(a) =1 ).
3. 已知a有一个特征值-2, 则b = a+ 2e必有一个特征值( 6 ).
4. 若=(1, -2, x)与正交， 则x y = 0 ).
5. 矩阵a =所对应的二次型是( )
二、单选题(每小题3分，共15分)
1. 如果方程有非零解，则k = b ).
a) -2 (b) -1 (c) 1 (d) 2
2. 设a为n阶可逆方阵，下式恒正确的是( b ).
a) (2a)-1 = 2a-1 (b) (2a)t = 2at (c) [a-1)-1]t = at)-1]t (d) [at)t]-1 = a-1)-1]t
3. 设β可由向量α1 = 1，0，0)，α2 = 0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( b ).
a) (2，1，1b) (3，0，2) (c) (1，1，0d) (0，-1，0)
4. 向量组α1 ，α2 …，s 的秩不为s(s)的充分必要条件是( c ).
a) α1 ，α2 …，s 全是非零向量。
b) α1 ，α2 …，s 全是零向量。
c) α1 ，α2 …，s中至少有一个向量可由其它向量线性表出。
d) α1 ，α2 …，s 中至少有一个零向量。
5. 与矩阵a =相似的是( a ).
a) (b) (cd)
三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”错误打“×”
1. 设a为三阶方阵且|a| =2，则|3ata| =108
2. 设a为四阶矩阵，且|a| =2，则|a*| 23
3. 设a为m矩阵，线性方程组ax = 0仅有零解的充分必要条件是a的行向量组线性无关。
4. 设a与b是两个相似的n阶矩阵，则。
5. 设二次型则负定。
四、 (10分) 计算四阶行列式的值。
解： 按第1列展开，得
五、(10分) 设a =,b =,且a, b, x满足。 求x, x
解：由于，即，进而，所以
所以 六、(10分) 求矩阵a =的特征值和特征向量。
解： 因为
所以a的特征值为2.
对于时，齐次线性方程组0与同解，其基础解系为。
于是，a的对应于2的特征向量为，其中不全为0.
七、(15分) 用正交变换化二次型为标准型，并写出所作的变换。
解：所给二次型的矩阵。
因为。 所以a的特征值为1, 2, 5.
当时，齐次线性方程组0的基础解系为，单位化得。
当时，齐次线性方程组0的基础解系为，单位化得。
当时，齐次线性方程组0的基础解系为，单位化得。
取，在正交变换下得二次型的标准型为。
八、(10分) 设是矩阵a的不同特征值的特征向量。 证明不是a的特征向量。
证明：令是a的对应于不同特征值的特征向量，即， .
假设是a的对应于的特征向量，即。 由于。
所以，于是0. 根据性质4，知，进而，矛盾。
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