一选择题。
1.设，，，则的余子式（a ）．a）是m
2．行列式的元素的代数余子式的值为（dd）-56
3．下列等式成立的是（ b ），其中为常数． （b）
4．行列式的值等于（ dd）24
5．设，则的根是（c ）．c）1，-1，2， -2
6. 已知均为阶方阵，且满足，则（d ）．d) bca=e
7. ＝d ），其中（）．
（d）8． 设a、b均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不一定成立的是（ d ）．
d）9．已知均为阶矩阵，且，下列结论必然正确的是（c ）．
10．设阶方阵，则必有 ( c )
11．如果向量组线性无关，那么( d )．d）
12．已知向量组线性无关，则向量组（c）．
c线性无关
13． ，若，，线性相关，则=（b）． b) 16 14．向量组线性无关的充分条件是（ c ）．
c）中任意一个向量不能被其余向量线性表示。
15．设均为维向量，则下列结论正确的是（ b ）.
b）若对任意一组不全为零的数，都有则线性无关 16．若矩阵经过初等行变换为，则（ a ）．
（a）的行向量组与的行向量组等价
17．齐次方程组只有零解的充分必要条件是的秩（b）．
18．设为矩阵，则有（ d ）．
d）若有阶子式不为零，则仅有零解。
19．设为阶方阵，且，是的两个不同的解向量，为任意常数，则的通解为 ( c ).
c） 20．设是的三个解向量，，，为任意常数，则的通解为 ( cc）
21．向量正交，则的取值为 ( bb)
22．与可逆矩阵必有相同特征值的矩阵是( cc)
23．若阶矩阵任意一行的个元素之和都是，则的一个特征值为 ( a ) a）
24．如果矩阵a与b相似，即a~b，则下列绪论不成立的是（ d ）．d） a =b
25．下列矩阵为正交阵的是 ( b )
b） 二、填空题。
1. n阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是答案：
2．设行列式，则中元素的代数余子式= 答案：
4．行列式 4 ．
5．行列式 -6
6．设为3阶方阵，且，则=_-24_．
7．对于可逆方阵，若，则＝ 答案：；
8．已知，其中，则＝ 答案：；．
9．设，为的伴随矩阵，则＝ 答案：；．
10．设，则答案：．
11．设向量，则= -6 时与正交．
12．设3阶矩阵，3维列向量，已知与线性相关，则= -1 ．
13．，若线性相关，则满足。
14．向量组线性相关 （相关、无关）．
15．向量组，，的秩等于 3 ．
16．设为n阶方阵，且非齐次方程组有唯一解向量，则增广矩阵的秩_n_
17．方程组的通解为18．设非齐次线性方程组有解，则其增广矩阵的行列式= 0 ．
19．设，问k = 1 时，r(a)1．
20．设向量组(a，3，1)t，(2，b，3)t，(1，2，1)t，(2，3，1)t的秩为2，则a= 2 ，b= 5 ．
21．矩阵的特征值为答案： -2，7 ．
22．已知阶矩阵的特征值都不。
为零，则的特征值为答案；
23．若阶矩阵有一个特征值为2，则= 0 ．
24．设3阶方阵有3个特征值，若则4 ．
25．二次型。
的秩为 3 ．
三、计算题。
1. 解：利用行列式的性质得。
3．解行列式方程．
4．计算下列矩阵运算式．p41例2.3
解： =（4）； 解： =
5．解下列矩阵方程：p53例2.14
1）设矩阵满足关系式，其中，求矩阵．
解： 2） 已知其中，求．
解： 6．设三阶矩阵，问满足什么条件时，的伴随矩阵的秩等于1．
答：且．7．利用行初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．p99例4.2
8．求解下列矩阵方程p101第4.14目。
4）ax+b=x，其中．
9．求的特征值与特征向量．
解：，所以a的特征值为．
当时，方程组为，解得（为自由未知量）．，
所以，对应于特征值的特征向量为（不同时为零）．
10．矩阵能否对角化？若对角化，试求出可逆矩阵p，使pap为对角阵．
矩阵a的特征多项式为。
由可得a的特征值．
对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系。
对于==2，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，， 由于a有三个线性无关的特征向量，故a可对角化．令。
则。11. 用克莱默法则解下列方程组．
答：，，12. 求向量组的秩。
解：…四、当取何值时，齐次线性方程组仅有零解．
答：且．五、判定下列各组中给定的两个向量组是否等价．
1）=（1，0）t， =0，1）t 与=（1，2）t， =1，1）t；
因为= ，而=，所以= ，即两个向量组等价．
2）=（1，1）t， =0，-1）t 与=（2，2）t， =0，0）t．
因= ，而=0，所以，不能由，的线性表出．故两个向量组不等价．
六、证明题。
1．设为阶矩阵，且为对称阵，证明也是对称矩阵．
2．设为阶非零矩阵，为的伴随矩阵，且，证明．
七、求向量组=（1，-2，5）t， =3，2，-1）t， =3，10，-17）t 的一个极大无关组，并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合．
解：以t， t， t 为行，构造矩阵a，判断a的行列式，而它的一个2阶子式，因此向量组的秩等于2，极大无关组含2个向量．而t与t的分量不成比例，所以t与t线性无关．所以，向量t， t就是该向量组的一个极大无关向量组，且=-3+2．
八、若向量组线性无关，又，试证：也线性无关。
解：设存在，使，即，因为线性无关，所以．
而，方程组有唯一解——零解．所以线性无关．
九、求齐次线性方程组的一个基础解系．
解：用行初等变换将系数矩阵化为上阶梯形。
同解于 ，为自由变量，即写成，分别取=， 得 =，于是， 为原方程组的一个基础解系．
十、当a为何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？在有解时，求出方程组的解．
解：设方程组的增广矩阵为，对进行初等变换。
当a=－3时， 方程组无解．
当a－3且a2时， 方程组有唯一解．最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为。
则方程组的解为 ．
当a=2时， 方程组有无穷多个解．此时梯形矩阵对应的梯形方程组为。
则方程组的解为 （c为任意常数）．
十。一、已知二次型．
1） 求二次型的秩；
解：f的矩阵为，而，所以二次型的秩为矩阵a的秩3．
2） 用正交变换将其化成标准形；
解：由得a的特征值，．
对于，解得特征向量，单位化后得．
对于，解得特征向量，标准正交后得．
对于，解得特征向量，单位化后得．令，故正交变换，在此变换下f化成标准形．
十。二、证明。
1． 若阶方阵满足，试证的特征值只能是或．
设的特征值为，对应于特征值的特征向量为，则．所以．
因为，所以，．
2．设为正交矩阵，且，证明：．
因为为正交矩阵，所以．
即，所以．
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